2025届四川省成都市蓉城名校联盟高三上第一次联合诊断性考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届四川省成都市蓉城名校联盟高三上第一次联合诊断性考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）．
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】因为，
所以．
故选：D
2. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数，其对应的点在第二象限，
则，解得．
故选：A
3. 已知，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由，得，，
则x不一定推出；反之，当时，一定有．
故甲是乙的必要不充分条件．
故选：B.
4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，
所以在上的投影向量为．
故选：B.
5. 在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
从表中数据可以得出的正确结论为（ ）．
A. 表中的数值为
B. 观看场次不超过场的学生的比例为
C. 估计该校观看场次不超过场的学生约为人
D. 估计该校观看场次不低于场的学生约为人
【答案】D
【解析】由表可知，，
解得，选项A错误；
观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误；
观看场次不超过场的学生的比例为，
则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误；
观看场次不低于场的学生的比例为，
则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确．
故选：D
6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，根据正弦定理有，
所以，有，
根据余弦定理，有，由，所以．
故选：C.
7. 设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，，，
所以，，则．
设为双曲线C上任意一点，
则，即．
而双曲线C的渐近线为，
所以点M到两条渐近线的距离之积为．
故选：B.
8. 已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，令，
由于为偶函数，故只需为奇函数，
由，得，
因为x∈R，定义域关于原点对称，
，
由此可以验证为奇函数．所以满足题意，
又由为偶函数，得，
故的图象关于直线对称．
，
当时，，
可知，当时，单调递增，则时，单调递减．
原不等式即为，
等价于，即，解得．
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）．
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对
D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】AC
【解析】由，所以最小正周期，选项A正确；
当时，，此时先减后增，选项B错误；
的图象关于直线对称，当时，，选项C正确；
的图象向左平移个单位得到的图象，选项D错误．
故选：AC
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆E相交于P，Q两点，则（ ）.
A. 以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为
B. 以为直径的圆与椭圆E有且仅有2个公共点
C. 以为圆心，为半径的圆与椭圆E有3个公共点
D. 以为直径的圆与直线相离
【答案】ABD
【解析】对于A，以椭圆的长轴为直径的圆的半径为，圆心为原点，
故该圆的方程为，选项A正确；
对于B，由椭圆方程可得，故以为直径的圆的半径为1，圆心为原点，
故其方程为，由可得或，
故该圆与椭圆有且仅有2个公共点，选项B正确；
对于C，由于椭圆上的任意一点与左焦点的距离，
当且仅当为左顶点时取等号，
故以为圆心，为半径的圆与椭圆只有一个公共点，选项C错误；
对于D，设为线段的中点，过点作直线l的垂线，
垂足分别为点，，，设Px,y，则，
因为F1-1,0，所以，
而，故，同理，
则，
即以为直径的圆的圆心到直线l的距离大于该圆的半径，选项D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在正方体中，O是线段的中点，点P在棱上运动，则（ ）．

A. 点P在平面上的射影不可能是点O
B. 点P在平面上的射影到B，D两点的距离相等
C. 当点P与顶点A重合时，直线与平面所成角的正切值为
D. 当点P与顶点重合时，点P到平面的距离等于
【答案】BCD
【解析】 对于A，如图，连接，因平面，平面,
则,
又, 平面，故得平面，
又平面，故直线，同理，
又平面,故得直线平面．
当P为线段的中点时，，此时点O是点P在平面上的射影，故A错误；
对于B，连接，，，由A项已得平面,
而平面，故得平面平面，为这两平面的交线，
于是点P在平面上的射影在直线上，显然为线段的中垂线，故B正确；
对于C，因平面，则与平面所成的角等于与平面所成的角，
即，设正方体棱长为1，则，故C正确；

对于D，如图，设正方体棱长为1，平面，
因,,
由，可得,解得，
而,即点C到平面的距离等于，
故点P（即点）到平面的距离等于，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则__________．
【答案】
【解析】由且，得，
则．
故答案为：
13. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有__________种（用数字作答）．
【答案】20
【解析】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）；
当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种），
所以不同的站法共有（种）．
故答案为:20.
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）．
【答案】3.3
【解析】由，得．
当时，，，
则过点的切线方程为，
令，得．
又，，
则过点的切线方程为，
令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3．
故答案为：3.3
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）由题意可知，
，，，……
，
数列的一个递推关系为，，
当时，利用累加法可得，
，
将代入得，满足，
所以数列的通项公式为，．
（2）由（①）知，，
则
．
16. 已知某学校为提高学生课外锻炼积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？
（2）从这350名样本学生中任选1名学生，设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生对课外活动满意”，比较和的大小，并解释其意义，
附：
解：（1）提出零假设：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，
根据表中数据，得到，
所以根据小概率值独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联．
（2）解法1：依题意得，，
,
则．
解法2： 依题意得，，，
，，
所以，，
则．
意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数比女生对课外活动满意的人数多等等．
17. 如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，．
（1）点P在上，且，证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
（1）证明：方法1：依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点，
直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，，，
因为，所以，所以，
又，所以，
又，，从而得，
所以向量，，共面，
又平面，平面，平面，
所以平面．
方法2：如图，在，上取点M，Q，且满足，，
连接，，，
因，，有，
所以，且，
又因为，，，
所以，有，
所以，且，
又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）方法1可知，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即．
取，则平面的一个法向量为，
则，
由图知二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
18. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于Ax1,y1，两点．
（1）证明：是常数；
（2）过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）．
①求的值；
②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：由已知，点的坐标为1,0，且可设直线的方程为，
联立方程组，消去，
得（*），
因为，
所以，为方程（*）的两个实根，且，
因为点，在抛物线上，
所以，为常数．
（2）解：在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且，
由（1）可知直线的方程为：，
①因为抛物线的准线方程为，
代入的方程可得点的坐标为，
由（1）可知，，，
，，
因此，，
，
即的值为．
②存在最小值，
设点，的坐标分别为，，
因为点均在抛物线上，
所以，，，，
由，有，即，
变形可得，
则（**），
同理，，
根据抛物线的定义可知，，，
，，
所以
．
由（**）知，，
即，当且仅当时取“＝”，
同理，，当且仅当时取“＝”，
由题设，，
所以，，
所以，
，
由题意可知，，同时成立，
此时，取得最小值，
故存在最小值，最小值为．
另解：
存在最小值，
假设直线的倾斜角为，根据题意可设，
如图，设点在轴上的射影为点，
抛物线的准线与轴相交于点，
根据抛物线的定义，由题设点的位置可知
，
所以，，
同理可得，，，，
所以
，
令，，
则，
由，可得，
易知函数为增函数，
所以，
上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立，
所以，，
所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得.
19. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，，求实数a的取值范围；
（3）若，且，证明：．
（1）解：当时，，
令，即，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
（2）解：令，
则，且，，
设，则，
又令，则，
①若，即时，
由于在区间上为增函数，可知，
则即在区间上为增函数，故，
所以即在区间上为增函数，
则，则在区间上为增函数，
所以，即时，恒成立，
所以，当时，符合条件．
②若，即时，
由于为单调递增函数，且，
所以，，
则时，，
可知）即在区间上为减函数，则，
故即在区间上为减函数，则，
则在区间上为减函数，所以，不符合题意，
综上所述，当，时，a的取值范围为．
（3）证明:欲证，
只需证明，
由（2）可知，当时，，即有，
进而得，其中，当且仅当时“＝”成立，
则，，…，，
所以
，
所以.观看场次
观看人数占调查
人数的百分比
性别
课外活动
合计
满意
不满意
男
150
100
250
女
50
50
100
合计
200
150
350
0.1
0.05
0.01
2.706
3841
6.635