2024~2025学年陕西省榆林市府谷县部分校高二上学期第二次月考质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年陕西省榆林市府谷县部分校高二上学期第二次月考质量检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线和直线的位置关系为（ ）
A. 平行B. 垂直
C. 重合D. 相交但不垂直
【答案】B
【解析】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以.
故选：B.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程是，即.
故选：A.
3. 已知椭圆两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，即，
又是椭圆上一点，所以，解得1，
故椭圆的方程为，
故选：C.
4. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由题意得圆心到直线的距离为，
故直线被圆截得的弦长为.
故选：B.
5. 在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.
过点作于点，由定义可得PM=PF，
所以，
由图可得，当三点共线时，最小，此时.
故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为．
故选：A.
6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ）

A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】以为基底，则，，，
，.
因为，所以，
则
，
所以.
故选：D
7. 已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
则，即，
所以，
因为为定值，所以，解得，
此时，则，
由圆，即，圆心为，半径为，
显然点在圆内部，且，则的最小值为，
所以的最小值为．
故选：D.
8. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】在正三棱锥中，，又，，
所以，所以，
同理可得，，即两两垂直，
把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，
如图，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
则点到平面的距离，所以，
故选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当直线l过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，方程为，
即；
当直线l不过原点时，设其方程为，则，解得，
直线的方程为，即，
所以直线l的方程为或.
故选：AD
10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ）
A. 若为双曲线，则或
B. 若为椭圆，则
C. 曲线可能是圆
D. 若为双曲线，则焦距为定值
【答案】BD
【解析】若为双曲线，则，故或，所以选项A正确；
若为椭圆，则且，故且，所以选项B错误；
若为圆，则，故，所以选项C正确；
若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
综上，选项BD错误，
故选：BD.
11. 已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B. 若直线BC过点F，O为坐标原点，则
C. 若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为
D. 若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为
【答案】ABD
【解析】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，
所以，故A正确；
对于B：显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由得，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C：因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段BC的中点到轴距离的最小值为，故C错误；
对于D：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，则__________.
【答案】
【解析】因为α//β，所以，则存在实数，使，
即，解得，所以
故答案为：
13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，
所以曲线的图象也关于轴对称，
所以只需研究与圆只有一个交点即可，
当与圆相切时，
则，
当与圆相交时（只有一个交点），则，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
14. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知，
则为平行四边形，则，即，
因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，.
（1）求直线的方程及的面积；
（2）求的外接圆的方程.
解：（1）直线的方程为，即，
因为，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
（2）设的外接圆的方程为，
由题意，解得，
所以的外接圆的方程为：.
16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）取上的点，使，
则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连，
因，所以，
因为为正三角形，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，，
以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则，可取，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，
（1）求C的方程;
（2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.
解：（1）点的坐标是，
当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，，
，解得，
所以C的方程是
（2）以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下：
如图，
直线AB的斜率显然存在，设其方程为，
代入，消去y并整理得，
设，，则
因为，
所以OA与OB不垂直.
因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.
18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2.
（1）证明：平面BCD；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（1）在中，因为，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以．
如下图1所示：在中，作于点，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面BCD，所以平面BCD.
（2）方法一：如下图2所示：
存在点，当是的中点时，二面角的大小为.
证明如下：由（1）知平面BDC，
所以且，
所以，又因为是的中点，所以，同理可得：，
取BD的中点为O，DC的中点为，连接MO，EM，OE，
因为，所以是二面角的平面角，
又因为，所以．此时．
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图3所示的空间直角坐标系，则.
假设点存在，设，
则，
设平面MBD的一个法向量为，
则，
取，可得，
又平面CBD的一个法向量为，
假设在线段上存在点，使得二面角的大小为，
则，解得，
所以点存在，且点是线段的中点，即.
19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值．
解：（1）由题意可设的标准方程为，则，，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点Mx1,y1、Nx2,y2，

联立，得，
所以且，
即且，
由韦达定理可得，，
．
因为，
且，，
所以
．
所以或．
当时，直线恒过点，不合题意，
当时，直线恒过点，合乎题意；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
则、
因为，所以，解得或（舍去）．
所以直线恒过点，
所以当直线时，点到直线距离最大，距离的最大值为．