2024-2025学年山东省青岛市高一上册（期末）选科测试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高一上册（期末）选科测试数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（ ）
A．1.5EBB．1.75EBC．2EBD．2.25EB
5．“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若“，使得”为假命题，则m的最大值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．点是图象的一个对称中心B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增D．
11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．
C．是偶函数D．在上单调递增
12．已知函数定义域为R，则（ ）
A．若，，则在上单调递增
B．若，，，则是偶函数
C．若，，，则是周期函数
D．若，，，，则函数在上单调递减
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数（且）的图象恒过点
14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 ．
①的定义域为；②；③当时，．
15．如图，已知是等腰直角三角形，，，在平面内绕点逆时针旋转到，使C，B，在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ．
16．设函数，若，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知集合，．
(1)写出的所有子集；
(2)若关于的不等式的解集为，，，求的值．
18．如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点．
(1)求，的值；
(2)求的值．
19．已知函数的最小正周期为2，的一个零点是．
(1)求的解析式；
(2)当时，的最小值为，求的取值范围．
20．如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
(1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
（i）证明：；
（ii）求的最大值；
(2)求四边形面积的最小值．
21．某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
(1)若注射药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．
22．已知函数，．
(1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若，解关于的不等式；
(3)证明：恰有两个零点m，，且．
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据真数大于0求定义域.
【详解】，
所以，解得，所以定义域为.
故选：C
2．【正确答案】B
【分析】利用诱导公式把化简为，再根据特殊角三角函数值即可求解.
【详解】.
故选：B
3．【正确答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为x，y为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
4．【正确答案】C
【分析】根据条件得，解出，得到，将代入即可求出结果.
【详解】由题可得，解得，所以，
当时，，
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】解出对数不等式，由充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】不等式等价于，
时一定满足，充分性成立；时不一定能满足，必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
6．【正确答案】A
【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数和在上的图象如下
从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点：
，即，得，
，，得，
所有交点横坐标之和为.
故选：A
7．【正确答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增，
若，则有，即，解得.
所以的取值范围为.
故选：D
8．【正确答案】B
【分析】根据条件，先将问题转化为“，”，然后通过对数运算性质化简并计算出的值，由此可求的最大值.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，”为真命题；
因为，
设，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
即，，
所以，所以的最大值为，
故选：B.
关键点点睛：本题解答的关键是：化简时要注意到.
9．【正确答案】BD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.
【详解】由已知得，
A选项，不知道的符号，不能比较与的大小，A选项错误；
B选项，由，有，B选项正确；
C选项，由，有，C选项错误；
D选项，由，则，D选项正确.
故选：BD
10．【正确答案】AB
【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立.
【详解】函数，
，点是图象的一个对称中心，A选项正确；
，是函数最值，直线是图象的一条对称轴，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB
11．【正确答案】AC
【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质.
【详解】函数的图象过原点，则，即，
函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线，
则， ，A选项正确，B选项错误；
函数，定义域为R，
，是偶函数，C选项正确；
时，，所以在上单调递减，D选项错误；
故选：AC
12．【正确答案】BCD
【分析】令，可判断A；用偶函数定义判断B；用周期函数的定义判断C；用单调性定义判断D.
【详解】A：令，满足，
但在上不是增函数，A错误；
B：令，则，
所以，所以是偶函数，B正确；
C：若，，，
则，
即，则是周期函数，C正确；
，因为在上单调递减，所以，
所以，
则，
，即在上单调递减，
D正确.
故选：BCD
13．【正确答案】
【详解】分析：根据指数函数过可得结果.
详解：由指数函数的性质可得过，
所以过，故答案为.
点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题.
14．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】由函数满足的条件，分析函数类型得解析式.
【详解】取，其定义域为，，
满足，且当时，，满足所有条件，
故；（答案不唯一）
15．【正确答案】
【分析】由图可知，分别计算即可.
【详解】如图：
由是等腰直角三角形，，，
所以，，
， ，
所以
.
故
16．【正确答案】
【分析】将已知条件因式分解可得，然后分析的值域，根据值域判断出的值并求出的值，由此可知的表示，则结果可求.
【详解】因为，所以，
又因为且，所以，
所以，，
显然，
所以，即，
当且仅当时，成立，
所以，所以，，
所以，，，
当且仅当或时，有最小值，且，
故答案为.
关键点点睛：解答本题的关键有两个方面：
（1）利用因式分解将所给条件变形；
（2）根据正弦型函数的值域确定的具体表示.
17．【正确答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）先求出，再写出子集；
（2）由题意先得出，再由一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系求值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以．
所以的所有子集为：，，，．
（2）因为，，所以．
由题意得1和3是方程的两根，，，
所以．
18．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）利用诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）由三角函数的定义知：
因为，所以，
所以．
（2）因为，，
，
所以．
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设中周期求得，再由零点条件可求，即得函数解析式；
（2）由的范围求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，依题意须使，解之即得的取值范围.
【详解】（1）由题知，所以．
又因为，所以，，即：，
又，则，
所以．
（2）
因为，，令，
因为在上的最小值为，如图，
可知须使，解得，
所以的取值范围是．
20．【正确答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)答案见解析
【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；
（2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）（i）由题知：，．
所以．
（ii）由（i）知：，
当时，时取等号，
所以，
故当时，的最大值为．
（2）因为．
令，所以，
令，
对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，
所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为.
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段；
（2）由两次注射的血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）注射该药品，其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得．
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．
（2）设从第一次注射起，经小时后，
其浓度，则，
因为，
当时，即时，等号成立．
，当时，，
所以，因为，
解得，所以．
当时，，，所以不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．
方法点睛：
分段函数模型的应用：
在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点.
.
22．【正确答案】(1)单调递增区间为，，无减区间；证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数解析式进行化简，判断单调性，根据两个不同区间，分别运用函数的单调性定义进行推导即得；
（2）结合（1）的结论，考虑，尝试得到函数在上的另一个零点，经计算得到，从而作出函数的简图即得不等式的解集；
（3）根据（1）的结论，在上寻得，使，再构造满足的值，推理得到，利用零点存在定理确定在存在零点；同法，在上存在另一个零点；最后受（2）的启发推算出，利用函数在上递增，判断，借助于基本不等式即得.
【详解】（1）由题知，，
因为，
所以在上和上单调递增，理由如下：
①，，且，
由．
因，则，，又，
故，即在上单调递增，
②，，，同理可得：，即在上单调递增，
所以在上和上单调递增，即函数的单调增区间为，，无减区间.
（2）
由（1）知：在上和上单调递增，又因为．
如图，要使，只需使或，故不等式的解集为：．
（3）由（1）知：在上和上单调递增，
又因为，且，
取满足，则，
所以在上有唯一零点，
又因为，且，取满足，
则，
所以在上有唯一零点，则，
又因为，
因在上单调递增，且，，则必有，即，
故．
关键点点睛：本题重点考查与函数的零点有关的问题.
在解决（2）时，条件容易误导用来求值，实则是抛砖引玉，用来推理，从而得到两个零点，结合单调性数形结合易得的解集；
在解决（3）时，要说明分别在和上函数各有一个零点，难度非同小可，需尝试代入适合的值,得到，再构造满足的值，使，从而得到确定的唯一零点，同法得到另一个零点，运用（2）的结论推得才可证明.