2024-2025学年福建省厦门市海沧区高三上册12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省厦门市海沧区高三上册12月月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ）
A．240种B．150种C．60种D．180种
6．已知点是焦点为的抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为点，直线与轴的交点为，若是的平分线，则的面积为( ).
A．B．C．D．
7．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，，，分别为所在棱中点，，分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16
C．数据的第70百分位数是23
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（ ）
A．B．直线QB与也相切
C．D．若，则
11．已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．的图象关于点中心对称
C．D．是偶函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一组数据（）大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为＝ .
13．已知函数的最大值是3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则
14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
16．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且.
(1)若数列为等差数列，求；
(2)若，求数列通项公式及.
17．如图，在直角梯形中，，，，点E是的中点，将沿对折至，使得，点F是的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
18．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离．
(1)求椭圆C的面积；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．
19．定义在上的函数y=fx，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数y=fx在处的切线与直线平行，则称函数y=fx在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数y=fx在的相依区间．已知．
(1)当时，函数在R上处处相依，证明：导函数在0,1上有零点；
(2)若函数在0,+∞上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围．
(3)当时，，为函数在的相依区间，证明：．
答案
1．【正确答案】B
【详解】时，不等式的解集为，即，
不等式，解得，即，
故．
故选：B．
2．【正确答案】B
【详解】因为，则，
所以．
故选B．
3．【正确答案】A
【详解】由题意得，即，则．
故选：A．
4．【正确答案】B
【详解】因为，
所以.
故选：B
5．【正确答案】B
【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案.
按照“”分配时，有种方法；
按照“”分配时，有种方法.
由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种.
故选：B.
6．【正确答案】B
【详解】因为，即，因此，易知直线是的准线，则，
如图，又，，所以，
得，四边形为正方形，故的面积为.
故选：B.

7．【正确答案】A
【详解】因为，为单位向量，且，
所以，则，
所以，因为，则，
则不妨设，
因为，所以，
即点的轨迹为圆，且圆心为，半径为，
又，
设点，则，
根据点与圆的位置关系可得，
故的最小值为.
故选：A.
8．【正确答案】B
【详解】

如图所示，取中点为，，
为方便计算，不妨设，
由，可知，
又因为，分别为所在棱靠近端的三等分点，
则，
且，，，，平面，
即平面，
又因为平面，则平面平面，
设肉馅球半径为，，
由于，，分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅，
则到的距离，，，
又因为，解得，
故，
又因为，
解得，，
所以，解得，，
由以上计算可知：为正三棱锥，
故，
所以比值为.
故选B.
9．【正确答案】ABD
【详解】解：对于A，因为样本的方差
所以这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为A正确；
对于B，已知样本数据的标准差为，则，
数据的方差为，其标准差为，故B正确；
对于C，数据共10个数，
从小到大排列为，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故C错误；
对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，
设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】ACD
【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
不妨设点在第一象限，且，如图，
因为，所以，
则有点处的切线方程为：，即，
令，于是，则，选项A正确；
同理有点B处的切线方程为：，交轴于，
当时直线才是抛物线的切线，否则直线不是抛物线C的切线，故B错误；
点B处的切线方程为：，
设直线的方程为：，由x=ty+1y2=4x可得，
所以，
点B处的切线方程为：，该切线与准线的交点的纵坐标为，同理，所以直线也是抛物线C的切线，
所以，所以，故C正确；
由A可知，为等腰三角形，且，于是，
则，又，解得，则，选项D正确，
故选：ACD
11．【正确答案】AD
【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D．
【详解】选项A：在中取为，得，
所以，取为，得，
因为函数是偶函数，所以，
取为，得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；
选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；
选项C：设，
则，
两式相加，得
2022，
所以，即，所以C错误；
选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确.
故选AD.
12．【正确答案】
【详解】回归直线经过，
且，
代入回归方程得：，
即，
所以当时，的最小值为.
故答案为.
13．【正确答案】4048
【详解】函数的最大值是3，
故，得，则
由于函数的图象与轴的交点坐标为，
故即
函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故，
所以；
当，2，3，时，的值依次为1，0，，0，成周期变化；
且周期为4，相邻4个之和为0，
由于，
所以．
故4048．
14．【正确答案】2024
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由,得,
所以，，，...，
将这个式子左右两边分别相加可得:
所以.
所以
,
所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)，最小值为
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
16．【正确答案】(1)；
(2)；.
【详解】（1）当时，，而，解得，
当时，，解得，
由数列为等差数列，得，则，解得，
则，公差为2，所以.
（2）当时，，
两式相减，得，而，则，
当时，，解得，
因此数列的奇数项是首项，公差为的等差数列， ；
偶数项是首项，公差为的等差数列，，
所以数列通项公式是；
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
所以.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，点E是的中点，
所以，，所以四边形是平行四边形，
又，，所以四边形是正方形，
所以，且，
所以，且，即，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为F是的中点，，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）知，平面，因为平面，所以.
因为，.
所以.
又，
由余弦定理得，
因为，所以，所以，
以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，作平面为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，A2,0,0，，，.
因为F是的中点，所以.
所以，，，
由（1）知，，又，面
所以平面，所以为平面的法向量，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，所以，
取，则，，所以，
所以，
设二面角的平面角为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）1；（ⅱ）存在定点，使得为定值
【详解】（1）由题意，，解得，
所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为.
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且），
则，
即，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的面积的最大值为1；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，
联立，得，
则，
，
则
，
又点到直线l的距离为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
此时的面积的最大值为1.
综上所述，的面积的最大值为1.

（ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以，
因为，，
所以，
则，
当直线l的斜率存在时，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
当时，直线l的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，恒过点.
当直线l的斜率不存在时，，，，
由（i）知，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，过点.
综上所述，直线l恒过点.
因为，D为垂足，为定值，
所以点D在以A，M为直径的圆上，
取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.

19．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1）当时，，
，
所以，，
即，又在上处处相依，
所以函数在0,1上有零点.
（2），x∈0,+∞，
，
因为函数在0,+∞上处处相依，
所以，，使得，
即，使得，
，x0∈0,+∞，即，x0∈0,+∞，
又，
.
所以实数的取值范围为.
（3）当时，，则，
因为为函数的在的相依区间，
所以，又，
则，
因为，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，则，
要证，即证，即证，
即证，，
令，
，
令，，
，
因为，，，
所以，即在0,1上单调递减，则，
所以φ′x