2024-2025学年福建省福州市闽侯县高二上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯县高二上册12月月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．曲线与曲线（）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2．已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．若直线与圆相离，则点（ ）
A．在圆外B．在圆内
C．在圆上D．位置不确定
6．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．4
7．设等差数列和的前项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．2
8．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．记等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．点不可能在直线上
B．直线恒过点
C．若点到直线的距离相等，则
D．直线上恒存在点，满足
11．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．存在，使得
B．不存在点，使得
C．的最小值为
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 .
13．记数列的前项和为，已知且，则 .
14．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最小值.
16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.
18．已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.
(1)求的方程；
(2)若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(3)若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离;
(3)已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为中所有点构成的几何体的体积为，求和的值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】曲线表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为 ；
曲线表示焦点在轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦距为.
对照选项可知：焦距相等.
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】设，（，，为正整数），
则，，
即有，
可得，解得，
可得．
故选：B．
3．【正确答案】D
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即，
利用可联立求得，
故双曲线的方程为.
故选：D.
4．【正确答案】C
【详解】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列，
例如，即充分性不成立，
当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立，
所以p是q的必要不充分条件．
故选：C．
5．【正确答案】B
【详解】由题意，到的距离，即，
所以在在圆内.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】
如图，连接,因，则，
由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，
最小值为,此时，的最小值为.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】对于等差数列，，
所以是关于的不含常数项的二次多项式，
同理，也是关于的不含常数项的二次多项式，
因为，所以设，，，
故，
，
则.
故选：A.
8．【正确答案】D
【详解】
如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，，
设，
则（*），
因点为的重心，则，即，
代入（*），可得，
因点在抛物线上，故，故，
依题，，解得.
故选：D.
9．【正确答案】ACD
【详解】设等差数列的公差为，
又等差数列的前项和为，，，
∴，解得，，故A正确；
，故B错误；
，∴，故C正确；
，，∴，故D正确．
故选：ACD．
10．【正确答案】ABD
【详解】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确；
B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确；
C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误；
D：设，则，
所以，
整理得，即点的轨迹方程为.
又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部，
所以直线与圆恒有公共点，
即直线上恒存在点，满足，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】BCD
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，E0,0,1，，，，
所以，，，
因为，则，方程无解，故不存在、使得，故A错误；
因为是线段上的动点，设，
所以，，
所以，所以不存在点，使得，故B正确；
因为，所以当时取得最小值，即，故C正确；
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】
【详解】依题意，，解得，
所以点的坐标为.
故
13．【正确答案】
【详解】当时，由得，
即，
因为，所以，
所以， ，
则，
又满足上式，故，
故．
14．【正确答案】/
【详解】由题意得蒙日圆为，则，，
直线的方程为：，
联立得，
，
解得，，
所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)5
【详解】（1）设数列的公差为，因为，且，
所以，解得或（舍），
故.
（2）由（1）可得：，
若，则，解得：，
故的最小值为.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：，
，
.
，
，
.
平面，
平面，
又平面，
.
（2）解：四边形是矩形，，
平面，平面，
，
所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，令，可得，
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）是上一点，
，则，
由抛物线的定义，知，
，则，
的方程为.
（2）由（1），知.
设直线，即，
代入，整理得，
，
，
又点到的距离为，
，
即，解得或（舍去），
直线的方程为，即.
18．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）设，连接.
是的中点，是的中点，
，
，则.
又.
，
的方程为.
（2）设且.
的中点为，则，
是上的两点，①，②，
①②，得，即，
即，可得，
，直线与直线的斜率之积为定值3.
（3）易知，且不关于轴对称，
直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入，整理得，
，
，
，解得或（舍去），
直线过定点.
19．【正确答案】(1)；
(2)；
(3)，.
【详解】（1）平面的法向量为，平面的法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，则，
取，得，所以直线的一个方向向量为.
（2）设平面，由平面经过点，点，点，
得，解得，即平面，
记平面、、的法向量分别为：，
设平面、的交线的方向向量为，则，取，
依题意，，解得，
平面，其法向量为，在平面内取点，
则，于是，点B到平面的距离为.
（3）集合的子集，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，
此四面体的体积为，由对称性知；
集合的子集，构成的几何体是棱长为的正方体，
而，则为截去三棱锥后剩下的部分，
的体积，三棱锥的体积为，
的体积为，
由对称性知.