2024-2025学年东北三省高三上册12月联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年东北三省高三上册12月联考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数fx=Asinωx+φ（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则（ ）
A．2B．C．D．3
6．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（ ）
A．2B．3C．D．
7．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，且，则下列不等式恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为，使得面面，连接，则下列说法正确的是（ ）

A．D到平面的距离为
B．四面体的外接球表面积为8π
C．BC与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．已知函数为R上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与图象有8个交点
C．是周期为2的周期函数
D．方程所有根的和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列，，则 ．
13．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为 ．
14．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的周长为18，且b，c，a成递增的等差数列，．点D，E和F分别在BC，AC和AB上，满足，，．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：AD，BE和CF三线交于一点K．
16．如图，在四棱锥中，，，，，面面，点E是PC的中点．
(1)证明：面；
(2)当面时，求二面角的余弦值．
17．城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午点的城市活力度为，是工作日内活力度的最高值；点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．
(1)分别求、的值；
(2)求该工作日内，市活力度不大于的总时长．
18．已知函数，其中，是自然对数的底数，是的导函数．
(1)当时，求曲线y=gx在点处的切线方程；
(2)当存在极值时，证明：的极值小于或等于1．
19．记数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据复数的乘除法化简复数，再利用复数的模计算即可.
【详解】，所以，
故选：B．
2．【正确答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合诱导公式及同角公式判断得解.
【详解】由，得，而，则；
当时，由，解得，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．【正确答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出的值，可求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值.
【详解】因为向量，，由可得，解得，
故，故．
故选：B．
4．【正确答案】D
【详解】由图易知，，得，
又，，所以，因为点在函数图象上，所以，
得到，又，所以，故，
对于选项A，由，得，，故直线不是图象的一条对称轴，所以选项A错误；
对于选项B，由，得，，函数图象的对称中心为，，所以选项B错误；
对于选项C，由，，得，，
当时，得到，所以选项C错误；
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度后得，所以平移后的函数是偶函数，故选项D正确.
故选：D．
5．【正确答案】B
【分析】设，根据正四棱台的性质及结合空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积运算律求解即可．
【详解】在正四棱台中，，，，
在侧面中，得，
由，所以，
设，则，
所以，
则
.
故选：B．
6．【正确答案】B
【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差.
【详解】因为，当时，，
两式相减，得，即，故公比为2，
所以，而当时，得，
所以等比数列的通项公式为，，
所以，，公差为．
故选：B
7．【正确答案】C
【分析】方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值；
方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值.
【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则，
不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
联立，解得，即点，
所以，，
化简可得，即，双曲线的离心率．
方法二：因为为中点，，则，所以，
又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线，
得，所以，，
所以，故．
故选：C．
8．【正确答案】C
【分析】借助赋值法令可得，即可得，再借助赋值法计算可得函数周期，利用所得周期计算即可得解.
【详解】因为，
所以当时，，又，所以．
又由，可得，
所以，
，
故函数是以4为周期的函数，所以．
故选：C．
9．【正确答案】ABC
【分析】利用不等式性质判断AB；利用指数函数单调性判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，，恒成立，A正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，由，得，C正确；
对于D，取，符合题意，而，D错误.
故选：ABC
10．【正确答案】BCD
【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离、线线、线面夹角判定A、C、D；根据几何体结构确定外接球球心位置，利用等量关系列方程求球体半径，即可求表面积判断B.
【详解】因为菱形ABCD中，E为AB的中点，所以，
即将△ADE沿DE折起后，，，
又面面，面面，面，
所以面，则EB，ED，两两垂直，
以E为坐标原点，EB，ED，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，，，．
对于A，设面的法向量为，则，
取，，D到面的距离，错误；
对于B，取CE中点F，连接DF，由，，
过F作直线面，则四面体的外接球球心O在直线l上，
设，外接球半径为R，由，得，解得，
则，四面体的外接球的表面积为，正确；
对于C，BC与所成角的余弦值为，正确；
对于D，设面的法向量为，则
取，，，正确．
故选：BCD
11．【正确答案】ACD
【分析】利用对称性及奇函数性质可得、直线与的图象交点为奇数个判断A、B；根据题设有，再确定gx+2与的关系判断C；根据以上分析得、，数形结合确定所有根的和，再利用周期性求所有根的和判断D.
【详解】对于A，的图象关于点中心对称，则，
当时，可得，又，则，正确；
对于B，因为为R上的奇函数，且为直线与图象的一个交点，
所以直线与的图象交点为奇数个，错误；
对于C，由A分析，得，则，
所以，故是周期为2的函数，正确；
对于D，因为为R上的奇函数，当x∈−1,1时，，
由的周期为2，得，函数图象如图所示，
当x∈−1,1时，令，解得，当时有最值，
因为函数为奇函数且图象关于中心对称，所以图象也关于中心对称，
当，有两个解，且关于对称，
当时，所有根的和为，
结合正弦型函数的周期性和的图象，所有根的和为，正确．
故选：ACD．
关键点点睛：对于D，根据解析式及的周期性、正弦型函数性质画出函数大致图象，数形结合求所有根的和，应用周期性求所有根的和.
12．【正确答案】21
【分析】根据题设及等差数列的通项公式求得，再由等差数列前n项和求结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
由，可得，即，
则．
故21．
13．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】将问题化为直线与半圆有2个公共点，数形结合及点线距离公式求参数临界值，即可得范围.
【详解】由是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含），如图，
，的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点，
当直线经过点时，，
当直线与半圆相切时，得，则或（舍），
由图知，，故整数b的可能取值为．
故（答案不唯一）
14．【正确答案】
【分析】根据题设，将问题化为恒成立，构造并应用导数研究单调性，进一步化为恒成立，再应用导数求右侧最值，即可得参数范围.
【详解】由题意，在上恒成立，即，恒成立．
，整理得恒成立，即，
所以，
令，则，故在定义域上单调递增，
所以，即恒成立，
令，则，
当时ℎ′x>0，当x∈0,+∞时ℎ′x