浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 将化为弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解.
【详解】.
故选：A.
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式得到答案.
【详解】由三角函数定义知，，
.
故选：C
3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可.
【详解】因为向量满足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是，
故选：D
4. 将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得.
【详解】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，
可得，再将其向右平移个单位长度，
即，即.
故选：B.
5. 函数的零点个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出，图象，求两函数交点个数即可得.
【详解】令，，
则的零点个数即为与的交点个数，
画出两函数图象如图所示：

由图可得与的交点个数为个，
故函数的零点个数为.
故选：B.
6. 在内函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数为非负和对数的真数要大于零即可求解.
【详解】对于，有，
由，得，解得，
又，得；
由，得，解得，
又，得或或；
综上，或，
所以的定义域为，
故选：.
7. 已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以的内切圆心为原点建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示，结合三角函数性质求出最小值.
【详解】正的边长为2，则其内切圆半径，
以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
，
而，因此，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为1.
故选：B
8. 已知且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】将写成，写成，利用两角和与差正弦公式展开得到，再利用结合基本不等式求得其最大值.
【详解】因为，且，所以，
所以
即，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知平面向量，下列说法不正确的有（ ）
A. 若，，则
B.
C.
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由时不成立可得选项A错误；根据数量积的概念可知选项B错误；根据可得选项C正确；根据得，化简可得选项D正确.
【详解】A.当时，满足，，但不一定成立，选项A错误.
B.设，则，与关系不确定，选项B错误.
C. ，选项C正确.
D.由得，，即，
∴，即，选项D正确.
故选：AB.
10. 已知函数，则（ ）
A. 曲线的一个对称中心为
B. 函数在区间单调递增
C. 函数为偶函数
D. 函数在内有4个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，从而得到，A错误；B选项，求出，数形结合得到B正确；C选项，，
C正确；D选项，令，即，时，，求出时，，故函数内有4个零点，D正确.
【详解】A选项，
，
，故一个对称中心为，A错误；
B选项，时，，
由于在上单调递增，
故函数在区间单调递增，B正确；
C选项，，
由于为偶函数，故为偶函数，C正确；
D选项，令，即，，
时，，
故当，即时，，
故函数在内有4个零点，D正确.
故选：BCD
11. 已知，则下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，扇形的半径为1，则弧长，利用面积法证明，进而可得，可判断A，得到在上为减函数，可判断B，由已知可得，利用利用指数函数与幂函数的性质可判断C；利用二倍角的正弦可得，结合余弦函数的单调性可判断D.
【详解】设，扇形的半径为1，则弧长，
过作交的延长线与点，由图形可得，
由题意的边上的高为，所以，
所以，

对于A，因为，又，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，由在上均匀增加，
而在上增加速度是由快变慢，所以可得在上为减函数，又
，所以，所以，故B正确；
对于C，由，则，且，
又，则，
所以，故C错误；
对于D，由，可得，又，
则，所以，
所以，又在是减函数，所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用图形证明，然后结合函数的单调性可得结论成立.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个扇形的周长为，面积为，则此扇形的圆心角为__________.（用弧度制表示）
【答案】##
【解析】
【分析】借助扇形周长公式与扇形面积公式计算即可得.
【详解】由题意可得，解得，
即此扇形的圆心角为.
故答案为：.
13. 设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】借助向量线性运算可得、，再利用向量共线定理计算即可得.
【详解】，
，
由三点共线，则有，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，其中，在上有6个零点，则的范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由给定区间求出相位所在的范围，再由函数的零点表达式，结合6个零点列出不等式组，借助不等式组有解求出范围.
【详解】由，得，由，得，
由在上有6个零点，得，
解得，由，解得，无整数解；
由，解得，而，因此；
由，解得，而，因此或；
由，解得，而，因此，
当时，，解得；当时，，解得，
所以的范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：求出相位范围，结合余弦函数的零点表达式及零点个数列出不等式组，再由不等式组确定整数的取值进而求出范围.
四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设.
（1）用表示向量；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线性运算和平面向量的基本定理求解；
（2）用表示向量，再利用数量积的运算求解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
，
，
又，
所以，
，
所以.
16. 已知.
（1）分别求和的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断，，再利用同角三角函数的平方关系可求和的值；
（2）结合（1），利用两角和的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求的值
【小问1详解】
因为
所以，又因为，
所以，则，
因为
所以，又因为，
所以，则，
【小问2详解】
即，
可得
17. 已知函数.
（1）若是三角形中一内角，且，求的值；
（2）若函数在，有唯一零点，求的范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据差角公式、倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，利用题目条件及三角形内角的范围可得结果.
（2）根据条件可得，令，问题转化为函数与直线有唯一交点，数形结合可解决问题.
【小问1详解】
由题意得，
，
∴，∴，
∵，∴，
∴，解得.
【小问2详解】
由（1）得，，
由得，
令，由得，
问题转化为函数与直线有唯一交点，作出在上的函数图象，
∵，，
∴或，解得或.
∴的范围是或.
18. 已知函数部分图象如图所示，
（1）求的解析式；
（2）已知在值域为，求的取值范围；
（3）将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解.
①求实数的取值范围；
②求的值.（用表示）
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由图象可得出函数的周期，可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）结合，，利用余弦型函数的图象及性质列式求解即可；
（3）①先将化简，然后结合该函数在的单调性、最值情况构造不等式求出的范围；
②可先根据两根关于对称轴对称求出的关系，然后代入利用三角恒等变换公式化简求值．
【小问1详解】
由图象可知，，所以，则，
所以，
因为即，
因为，则，所以，解得，
因此；
【小问2详解】
，，
由题意在的值域为，结合题干图象知，
解得；
【小问3详解】
①将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），
再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象，
则，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以是函数一个周期的区间．
所以若方程在内有两个不同的解，
只需，即即为所求．
②令，因为于的方程在内有两个不同的解，
所以满足，即，，
又的对称轴由，
结合得对称轴为，
可知，关于对称轴对称，所以，
所以或．
当时，
．
当时，
．
故．
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质.
（1）已知，求；
（2）类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明；
（3）已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2），，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据和的计算公式，结合指数运算法则求解即可.
（2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数，证明即可．
（3）设，则，时，，进而求的取值范围，化为，利用不等式的性质转化求解，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
因为，所以，
所以，即，所以，
所以，所以．
【小问2详解】
类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，
得双曲正弦函数（或双曲余弦函数；
证明如下：；
．
【小问3详解】
因为，设，则，
当时，，所以，
所以，
可化为，
由题意，只需，对任意恒成立即可，
即或，所以或恒成立；
，故在上的最小值是，
当且仅当即时取得最小值；
因为，所以由对勾函数性质知在上单调递减，
所以在上的最大值是7，当取得最大值；
所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围．