浙江省嘉兴高级中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】因为，集合，，
所以，则.
故选：A
2. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法及不等式的性质即可判断答案.
【详解】对于A，因为，所以，则，故A错误；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：C
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性的判断，再结合函数单调性的判断，即可作出选择.
【详解】对于A，由于，所以是偶函数，但由于开口向下，所以在区间内是减函数，故A是错误的；
对于B，由于，所以不是偶函数，故B是错误的；
对于C，由于，所以是奇函数，故C是错误 ；
对于D，由于，所以是偶函数，
且在区间内是增函数，故D是正确的；
故选：D.
4. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质可以得到，， 的取值范围，再结合，，的取值范围，即可按照从小到大的顺序得到，，的大小.
【详解】解：，，；
.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题是利用指数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法：
(1)作差法；
(2)作商法；
(3)利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）；
(4)图像法；
(5)构造中间量法，比如和，进行比较.
5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法求得，再由求得即可.
【详解】因为，，
所以令，得，即，故，
令，得，即，故.
故选：C.
6. 函数是定义域上减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
7. 函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数单调性，排除不符合要求的选项即可得解.
【详解】当时，在上单调递减，排除CD；
当时，在上单调递增，排除A，选项B符合要求.
故选：B
8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”；
B. “”是“”的充分不必要条件；
C. 设，，则“”是“且”的必要不充分条件；
D. ，，成立的一个必要而不充分的条件是
【答案】ABCD
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，A正确；
对于B，若，则，而当时，或，因此“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，若且，则；而满足，
且不成立，因此“”是“且”的必要不充分条件，C正确；
对于D，若，则，即；取，满足，显然不成立，
因此是的必要而不充分的条件，D正确.
故选：ABCD
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由常数代换结合基本不等式即可判断AB，由对数的运算结合基本不等式即可判断C，由指数函数的单调性以及值域，即可判断D
【详解】因为，，则，
对于A，，
当且仅当时，即，时，等号成立，故A正确；
对于B，由且可得，即，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，
由于，故不能确定，故C错误；
对于D，由可得，则，
且，则，
所以，故D正确；
故选：AD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图像关于原点对称
B. 的图像关于轴对称
C. 的值域为
D. ，，，恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，然后分离参数结合指数函数以及反比例函数的性质即可判断C，再由函数单调性的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为，定义域为关于原点对称，
且，
所以为奇函数，关于原点对称，故A正确，B错误；
对于C，因为，且，所以，
即，所以，即，故C正确；
对于D，设，且，
则，
其中，，即，
，所以在上单调递减，
所以恒成立，故D正确；
故选：ACD
12. 若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，问题转化为判断在上是增函数，分别对各个选项判断即可．
【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，
则，
令，则，，，且，
在上是增函数，
对于，则，对称轴是，
故在递增，在递减，故错误；
对于，则，是对勾函数，
故在递增，故正确；
对于，故，对称轴是，
故在递增，故正确；
对于，则，
故在递减，故错误；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于恒成立可转化为新函数满足上恒成立，即在上是增函数，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象经过点，则______
【答案】4
【解析】
【分析】根据函数过，代入解析式求出的值，从而求出解析式，再代入求函数值即可．
【详解】由题：，
故答案为：4．
14. 设，且，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及指数 式与对数式互化关系求出的值.
【详解】依题意，，由，得，
则，又，于是，
因此，而，所以.
故答案为：
15. 已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可
【详解】由得，
又，为正实数，所以，得，
则，
，
当且仅当,即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
16. 是上的奇函数，当时，，若方程有5个实根，则的范围为________
【答案】
【解析】
【分析】用奇函数的性质将问题转化为和的交点个数，再画出图象，数形结合求出即可；
【详解】因为是上的奇函数，方程有5个实根，
所以是一个，只需时有个零点即可，
当时，，
问题转化为和的交点个数即可；
画出的图象，如图：
结合图象，只需，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题均12分，共70分.
17. 已知全集，集合，.
（1）若时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出集合，再根据补集、并集的定义计算可得；
（2）依题意可得，分、、三种情况讨论，分别确定集合，再根据求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，不等式，解得或，
所以或，故，
又，故；
【小问2详解】
由，知，又集合，，
若时，或，满足，符合题意；
若时，，满足，符合题意；
若时，或，要使，需要，故，
综上，实数的取值范围为.
18. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算出结果即可；
（2）利用对数的运算性质计算出结果即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
19. 函数为上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）判断在单调性，并用函数单调性的定义证明.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义，分段求出函数解析式即可得解.
（2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得.
【小问1详解】
函数为上的奇函数，当时，，
当时，，，又，
所以在上的解析式是.
【小问2详解】
函数在的单调递增，
任意，
，由，得，
则，即，
所以函数在的单调递增.
20. 函数
（1）求的定义域和值域；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）定义域为，值域为；
（2）递增区间是，递减区间是.
【解析】
【分析】（1）利用函数有意义列出不等式求出定义域，结合二次函数、指数函数求出值域.
（2）利用二次函数、指数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.
【小问1详解】
函数有意义，则，即，解得，
所以的定义域为；
，当且仅当时取等号，即，
因此，，
所以的值域为.
【小问2详解】
函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
21. 丽水市某工厂生产甲产品的年固定成本为200万元，若甲产品的年产量为万件，则需另投入成本万元）．已知甲产品年产量不超过100万件时，；甲产品年产量大于100万件
时，．因设备限制，甲产品年产量不超过200万件．现已知甲产品的售价为50元/件，且年内生产的甲产品能全部销售完．设该厂生产甲产品的年利润为（万元）．
（1）写出关于的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该厂生产甲产品所获的利润最大？
【答案】（1）
（2）72万件
【解析】
【分析】（1）根据题设的成本、销售额、利润的关系可求；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式可求何时取最大值.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故.
【小问2详解】
①当时，，
当时，.
②当时，
．
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以．
答：当年产量为72万件时，该厂所获利润最大，最大利润为1096
22. 函数
（1）当时，画出的草图，并写出单调递增区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）图象见解析；单调递增区间和.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将函数化为分段函数，再结合二次函数的图象，即可得到结果；
（2）根据题意，结合条件可得在恒成立，结合函数的单调性以及基本不等式求得最值，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，，
即可得到函数的图象如图所示，
由图象可得的单调递增区间为和.
【小问2详解】
由，恒成立可得在恒成立，
即在恒成立，
即，
又在单调递增，所以当时，，
所以，即；
且，当且仅当时，即时，等号成立，
即，，即；
所以，即实数的取值范围是.