2024-2025学年河南省济源市高二上学期期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省济源市高二上学期期末数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A．B．C．D．
2．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．等差数列，0，，…的第20项为（ ）
A．B．C．D．
4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
6．我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知直线：，其中，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点B．若直线与直线平行，则
C．当时，直线的倾斜角为D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．若平面，则动点的轨迹的长度等于
D．若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分
三、填空题（本大题共4小题）
13．若圆与圆只有唯一的公共点，则 .
14．在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是 （填曲线的类型，填方程不给分）.
15．已知数列均为正项，且是等差数列，，则 .
16．如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
18．已知数列满足：，，设.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
(1)证明：平面；
(2)当为何值时，的长最小并求出最小值；
(3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
22．已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上，点，，的面积为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为.
故选：B.
2．【正确答案】B
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【详解】解：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，又函数过点，所以直线方程为，即；
故选：B
3．【正确答案】C
【分析】写出等差数列通项公式，即可求解.
【详解】由题意，，
所以，
则.
故选：C.
4．【正确答案】D
【分析】由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案.
【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面，
对于A，与共面，不共面，故，，不共面，
否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；
对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，
即，则，方程组无解，
假设不成立，故，，不共面，B错误；
对于C，，与共面，由于不共面，
故，与不共面，C错误；
对于D，，故，，共面，
故选：D
5．【正确答案】A
【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得，由此求得双曲线的离心率.
【详解】抛物线即的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以点到直线的距离为，则，
则双曲线的离心率为.
故选：A
6．【正确答案】D
【分析】从斜率角度考虑，可看作圆上的点与点连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】可看作圆上的点与点连线的斜率，
如图，只需求出临界状态：相切时的斜率，
设直线为，
则圆心到直线距离，解得：，
所以的取值范围为.
故选：D
7．【正确答案】C
【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得.
【详解】
所以
累加得
故选：C.
8．【正确答案】B
【分析】结合题意和椭圆的性质，将边长全部用a表示出来，勾股定理列出方程求解即可.
【详解】
如图，设椭圆的左焦点为，连接，
因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形，
设，则，，，
在中，，
化简整理得，所以，，
在中，，
所以，
故选：B.
9．【正确答案】AC
【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断.
【详解】由已知，直线：，
则直线过定点，A正确；
若直线与直线平行，则，
得，或，B错误；
当时，直线：，则，
所以倾斜角为，C正确；
当时，直线：，其在轴上的截距分别为，
不相等，D错误.
故选：AC.
10．【正确答案】BCD
【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.
【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】AB
【分析】由可得，进而可得，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】根据题意可得，
由等差数列性质可知．
因为，所以，
所以，
所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以.
所以A，B正确，C，D不正确；
故选：AB．
12．【正确答案】BCD
【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解判断AB，由面面平行得出动点的轨迹的长度等于判断C，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，可证得，即点轨迹为抛物线，由此可判断D.
【详解】对于A，，选项A错误；
对于B，过点作的平行线交于点，
以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设正三棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，，
所以，，
因为，所以，即，解得，
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项B正确；
取的中点，的中点，连接，则∥，平面，
平面，所以∥平面，同理∥平面，
又，平面，平面，所以平面∥平面，
因为平面且平面，
所以动点的轨迹的长度等于，故C正确；

对于D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，

若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.
故选：BCD
13．【正确答案】或
【分析】求出两圆圆心坐标与半径长，分两圆外切和内切两种情况讨论，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，其中，
圆的圆心为，半径为，
由题意可知，两圆外切或内切，且，
若两圆外切，则，即，解得；
若两圆内切，则，即，解得.
综上所述，或.
故或.
14．【正确答案】直线
【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解.
【详解】由，
得，
所以等式左边表示点到点的距离，
右边表示点到直线的距离，两距离相等，
而点在直线上，
所以点的轨迹是垂直直线于点的直线.
故直线.
15．【正确答案】100
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为且是等差数列，设公差为，
所以，所以是正项等比数列，
所以
，
所以，
故100.
16．【正确答案】
【分析】令，面，得到，从而将问题转化成求四棱台的高，再根据题设条件，即可解决问题.
【详解】如图，因为，令，则面，
则，所以的最小值即为四棱台的高，
过作面于，过作于，过作于，
连接，
因为面，面，所以，
又，，面，所以，
又，，得到，，
同理可得，，，所以，得到，
在中，，所以，
得到，
故答案为.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答.
（2）设出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离，借助点到直线距离公式计算作答.
【详解】（1）因为圆与直线相切于点
所以过点与直线垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得圆心.所以半径.
故圆的标准方程为：；
（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，
即，所以圆心到直线的距离，
又因为，，所以，解得.
此时直线的方程为.
②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，
弦长为，符合题意.
综上，直线的方程为或.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将变形为，是等比数列
（2）由（1）得到数列的通项公式
（3）结合（2）中通项利用错位相减法求得
【详解】（1）由，，可得.因为，即，.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可得：，即，所以.
（3）由（2）可知：，
则，可得，
两式相减可得.
所以.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)时，最小为
(3)
【分析】（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）利用空间两点间的距离公式可求得的最小值及其对应的的值；
（3）写出点、的坐标，利用空间向量法可求出平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：，其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【详解】（1）由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
21．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，通过计算得出，由平面向量基本定理得到，，共面，即可证明结果；
（2）由（1）结果，得到，并求得平面的法向量为，再利用线面角的向量法即可求出结果.
（3）由（1）和（2）得，平面的法向量，再由空间距离的向量法即可求出结果.
【详解】（1）（1）因为平面是菱形，所以，
又因为底面，面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系：
因为，，，则，，，，，
因为，分别为侧棱，的中点，所以，，
设，，因为，
所以，解得，即.
所以，，.
所以，由向量共面的充要条件可知，，，共面.
又，，过同一点，从而，，，四点共面.
（2）由（1）可得，，，，
又因为，所以，.
设平面的法向量，由，得到，
取，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）和（2）知，平面的法向量，
设到平面的距离为，则.
22．【正确答案】（1）（2）证明见解析；定值为
【分析】（1）根据点在椭圆上，点，，的面积为，得到求解.
（2）分直线的斜率不存在时，设直线：（且），直接求得M，N的坐标求解.当直线的斜率存在时，设点，，直线：，与联立，得到m，k的关系，再利用弦长公式求得，以及原点到直线的距离，代入求解.
【详解】（1）由已知得，∴，
又，∴，∴椭圆.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线：（且），代入，得，
则，∴，则，
当直线的斜率存在时，设点，，直线：，代入，
得，∴，
，，，
∴，满足，
，
又原点到直线的距离，
∴，为定值.
综上，的面积为定值，定值为.
本题主要考查椭圆方程的求法以及三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.