2023~2024学年浙江省宁波市九校高二上1月期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年浙江省宁波市九校高二上1月期末数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线，可得抛物线的开口向上，且，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A.
2. 直线的横截距为（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】B
【解析】由直线，
令，则.
故选：B.
3. 已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】由图可知：过，所以，
又过，
所以，即．
而，所以
故选：A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥．
B. 若，且，则事件A与事件B不是独立事件．
C. 若事件A，B，C两两独立，则．
D. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立．
【答案】BD
【解析】A选项，投掷两枚骰子，出现的数字之和为10为事件，出现的数字之和为11为事件，
则事件A与事件B互斥，
事件的对立事件为出现的数字之和不为10，
事件的对立事件为出现的数字之和不为11，
则不互斥，比如出现数字之和均为9，故A错误；
B选项，由题意得，
，
则事件A与事件B不是独立事件，故B正确；
C选项，假设有一个均匀的正四面体，一面涂有红色，一面涂有黄色，一面涂有蓝色，另 一面涂有红、黄、蓝色，随机取一面观察其中的颜色.
事件“出现红色”，； 事件“出现黄色”，； 事件“出现蓝色”，； 我们很容易得到 ，，，但是，，，故C错误；
D选项，2个红球分别为红1、红2；2个白球分别为白1、白2.
则包含以下基本事件，（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）.
事件包含以下基本事件：（红1，红2）；
事件包含以下基本事件：（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），
显然A与B互斥而不对立，故D正确.
故选：.
5. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线（斜率大于0）与圆交于M，N两点，且则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】双曲线离心率为，得，
解得：于是双曲线的渐近线方程为，即，
圆的圆心，半径，
当渐近线（斜率大于0）时，即为时，
点到此直线的距离为，
又因为弦长，
解得：.
故选：C.
6. 电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为，
则.
因为：
.
由，得：.
所以在上递增，在上递减.
所以当时，取得最大值.即.
故选：B
7. 已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将代入中得，，解得，故，
设，由题意得，
其中，，
故，即，
故，即，
设直线的方程为，联立抛物线方程得，
，则，
故，解得，
所以直线的方程为，恒过定点，
故点A到直线BC的距离最大值.
为取等号，，因为，以，满足,
故选：C
8. 若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式成立，
，
当时，，不符合题意，所以
令，，，
构造函数，，
其中对数函数在上递增，反比例函数在上递增，
所以在上递增，且，
所以在区间，，单调递减；在区间，，单调递增.
所以的最小值为.
要使有解，
则，①，
当时，①成立；当时，.
所以的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 三个向量共面，即它们所在的直线共面．
B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
C. 若直线l的方向向量，平面的法向量为，则直线．
D. 设为平面与平面的法向量，若，则平面与平面所成角的大小为．
【答案】BD
【解析】对于A选项，三个向量共面，根据向量可以任意平移，可知它们所在的直线可能共面，也可能异面，故A错误；
对于B选项，若为空间的一个基底，则不共面，假设共面，
则存在使得，则有，
解得不存在这样的值，则不共面，则构成空间的另一个基底，故B正确；
对于C选项，直线l的方向向量，平面的法向量为，
则，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错误；
对于D选项，为平面与平面的法向量，若，根据平面与平面夹角范围为，
所以平面与平面所成角的大小为，故D正确，
故选：BD.
10. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，，
所以，
即，故A正确；
由
，
所以，B选项正确；
由，
，
又，
，
所以
所以，故D选项正确，C错误.故选：ABD.
11. 已知函数，则（ ）
A. B. 在单调递增
C. 有最小值D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】已知函数，
对于A选项：，正确；
对于B选项：
当时，，
所以，所以在单调递增，正确；
对于C选项：
当时，，
故没有最小值，不正确；
对于D选项：
的最小正周期为，是偶函数，
定义域为．故只需研究即可．
由B选项知：在单调递增，在上单调递减，
的最大值为，正确．故选：ABD．
12. 菱形内接于椭圆，其周长的值可以取到（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】BC
【解析】如图，将菱形内接于椭圆，
设，，
当直线的斜率不存在或为0时，菱形的四个顶点与椭圆的四个顶点重合，此时显然周长为；
当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，的方程为，
设菱形周长为，
联立方程组，，可得，显然，
不妨设点A在第一象限，B在第二象限，
解得，代入椭圆中得到，即，
同理可求，
则由两点间距离公式得，
令，则，
可得，
因为，则，
可得，即，
综上所述：，
易得，10，不在此范围内，故排除A,D，，，在此范围内，得到B,C正确.
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________．
【答案】
【解析】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.故答案为：.
14. 已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程___________．
【答案】
【解析】设Px,y，则，，，
所以，即，整理得，
所以点的轨迹方程为，.故答案为：，.
15. 已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为_______．
【答案】
【解析】令，连接，
显然平面平面，平面平面，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则
，
在平面内，直线方程为，直线方程为，
联立解得，
在平面内，直线方程为，直线的方程为，
联立解得，
令，则，，
由，得，解得，即点，，
，设平面的法向量，
则，令，得，
于是点M到平面的距离，而正方体的棱长为1，
所以点M到平面的距离为.故答案为：.
16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________．
【答案】
【解析】由题意得，
因为，所以，
即，
令，则恒成立，
因为，
令得，，单调递增，
令得，，单调递减，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
因为，所以恒成立，故，
当时，，此时满足恒成立，
当，即时，由于在上单调递增，
由得，
令，，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也最大值，，
故，即，所以，a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆及圆内一点，P为圆M上的动点，以P为圆心，PA为半径的圆P．
（1）当且P在第一象限时，求圆P的方程；
（2）若圆P与圆恒有公共点，求r的取值范围．
解：（1）由圆，可得圆心，半径，
又由且时，，
可得轴，所以，则，
因为P在第一象限，所以，
所以圆P的方程为.
（2）由圆，可得圆心坐标，
因为，所以，
要使得圆P与圆恒有公共点，且圆心距为，
所以对任意的恒成立，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
18. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：,绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计男生成绩样本数据第80百分位数；
（2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数；
（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．
解：（1）在内的成绩占比为
，
在内的成绩占比为，
因此第80百分位数一定位内．
因为，所以估计第80百分位数约是84．
（2）成绩不低于80分频率为，
所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：，
所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人；
（3）设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为，
．
．
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
19. 如图所示,在三棱锥中,侧棱底面ABC,，M为棱PC的中点，N为棱BC的上的动点．
（1）求证：．
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
解：（1）取PB中点D，连接AD，DM．
因为，所以，
因为底面ABC，
所以，
由，
所以平面PAB，
所以
因为M为棱PC的中点，所以//，所以，面ADM，
所以平面ADM，所以．
（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则，
，

设，得，
取平面AMC的法向量，
令是平面AMN的一个法向量，
则，即，
令，则，
由
解得或（舍）．
得，所以．
20. 已知函数．
（1）求函数的极值点个数；
（2）若函数存在极大值点，且使得恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）的定义域为0,+∞，
由题意得，
令，则，
①当时，恒成立，在递增，
当时，，当时，，
在0,+∞存在，使得，
在0,m单调递减，在单调递增，在处取得极大值，
此时有一个极值点；
②当时，令得，
当时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以，
（i）当，即时，此时，
在0,+∞无单调增区间，
所以此时无极值点；
（ii）当，即时，
当时，，当时，，
在存在，使得，
在存在，使得，
在单调递减，在单调递增，在单调递减，
在处取得极小值，在处取得极大值，
此时有两个极值点.
综上所述，当时，有一个极值点；
当时，有两个极值点；
当时，无极值点.
（2）由（1）得，当时，存在极大值点，记为，且，
则，即，
则，
令，，即，
，所以在单调递增，
由得，
令 ，，
所以在上单调递减，
所以，
所以实数a的取值范围.
21. 如图所示，设抛物线，过抛物线E内一点的两条直线分别与抛物线交于A，C和B，D，且满足，其中，当轴时，．
（1）求抛物线E的方程；
（2）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
解：（1）当轴时，，可得，则，
可得，所以，所以抛物线E的方程为.
（2）设
由，可得，
因为A，C在抛物线，可得，
将代入得，
整理得，可得，
同理可得，对于B，D，则有
所以是方程的两个根，所以，
所以，即为定值．
22. 已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第一象限）的切线交于AB两点，直线OP交于C，D两点，点A，D在x轴上方．
（1）求，的方程；
（2）设AC与BD交于点Q，记的面积分别为，求的最大值．
解：（1）根据题意得，
设，代入得，，
的方程为，的方程为；
（2）设直线，
，
；
所以，即，
得，
所以；
所以；
又；
，
所以；
，
，
因为C，D在直线AB同侧，
所以
，
所以
设
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，
所以.