专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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考点要求
（1）理解等差、等比数列的概念．
（2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
（5）了解等比数列与指数函数的关系．
知识点01：空间向量的有关概念等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
1、通项公式的推广：．
2、在等差数列中，当时，．
3、，…仍是等差数列，公差为．
4、，…也成等差数列，公差为．
5、若，是等差数列，则也是等差数列．
6、．数列是等差数列⇔（为常数）．
【常用结论】
1、等差数列中，若，则．
2、等差数列中，若，则．
3、等差数列中，若，则．
4、若与为等差数列，且前项和为与，则．
知识点02：等比数列的性质
1、等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
2、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
3、其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【常用结论】
1、若，则．
2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
考点剖析
【题型一：等差、等比数列下标的性质】
一、单选题
1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．18C．24D．32
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可得，再结合等差数列前项和的公式即可求解.
【详解】由，则，
由数列为等差数列，，故，
又，
故选：C.
2．（24-25高二上·广东东莞·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A．B．C．11D．10
【答案】C
【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值,最后运用对数性质计算即可.
【详解】在等比数列中，，得.
根据等比数列性质，.
所以
，.
故选：C.
3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.
【详解】因为，
所以，则
又因为，
所以，当且仅当时，等号成立；
所以的最大值为25.
故选：C
二、填空题
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在递增的正项等比数列中，，则
【答案】3
【分析】先应用项的性质得出，再结合已知条件得出，进而得出，最后应用前n项和计算即可.
【详解】由题得，且，
结合已知，解得，
设公比为，且，故，即，
则．
故答案为：3.
5．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
【答案】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果.
【详解】由题意得：，解得：，
，解得：，
所以.
故答案为：.
【题型二：等差、等比数列的函数特性】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果.
【详解】已知等差数列的公差为，即，
当单调递增时，，令得到， ；
反之，，为单调递增.
故“单调递增”是“”的充要条件．
故选：A.
2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由为等差数列，且，所以，
因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数，
又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以，
则有，解可得，
综上可得，，所以实数的取值范围为．
故选：D．
3．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时，
不一有最大值，即可得出论.
【详解】对于无穷等差数列，由于，
当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值，
当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值，
所以公差不能推出有最大值，
当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值，
所以当有最大值时，只能，
综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件，
故选：A
4．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论.
【详解】若是严格递减数列，显然能推出，
所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件；
若对任意的正整数都成立，
则中不可能同时含正项和负项，故，
所以，，即，，
或，，即，.
当，时，有，即，是严格递减数列；
当，时，有，即，是严格递减数列，
所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件，
综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件.
故选：C.
5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可.
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则，
由等比数列性质知，所以，故选项A错误；
又，因为，所以，所以，
则，故先增后减，所以，故选项B正确；
若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误.
故选：B
6．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
则，即，
结合等比数列满足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故当最小时，，
故选：A
【题型三：等差、等比数列片段和的性质】
一、单选题
1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．30B．35C．40D．75
【答案】B
【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解.
【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，
则也是等比数列，即，
又，，所以，解得.
故选：B.
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．8C．9D．16
【答案】B
【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解.
【详解】因为所以，则，
由等比数列的前项和的性质可知，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
，即，
所以.
故选：B.
3．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．144B．120C．108D．96
【答案】B
【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可.
【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列.
由于，则成等差数列.
则，解得.
则成等差数列．故，则.
故选：B.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（ ）
A．10B．15C．20D．40
【答案】C
【分析】仍成等差数列，据此求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和，
根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，
记，
设，
，
，解得，
所以，
故选：C.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．18B．13C．D．
【答案】D
【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解.
【详解】由，可设，
为等差数列，为等差数列，
即成等差数列，
，
即.
故选：D.
6．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】由题意，设等比数列的公比为，
因为成等比数列，可得，
又因为，即
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【题型四：两个等差数列的前n项和之比】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可.
【详解】解：因为，即，
所以．
故选：A.
2．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的前n项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质把代数式等价变形，即可得到，结合条件即可得到结果.
【详解】由等差数列性质得，，
由得，.
故选：C.
3．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果.
【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和，
当等比数列的公比时，，显然不合题意；
所以，等比数列为常数列，所以可设，，，
所以可得，故C正确.
故选：C.
5．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出．
【详解】由等差数列前项和公式可设：
，，，
从而，
，
所以，
故选：C
【题型五：等差、等比数列前n项和的函数特性】
一、单选题
1．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】由题意可知是公比为的等比数列，
当，时，则，
由于，，且随n的增大而减小，故单调递增，
当，时，也单调递增，推不出，
故“”是“单调递增”的充分而不必要条件，
故选：A
2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可.
【详解】由题意，，，则，故B错误；
数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；
由于时，，时，，
所以的最大值为，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
3．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式以及通项的性质，即可得出结果.
【详解】由题知，设等差数列公差为，
因为，所以，
则由，得，
又，得，
所以，
则当取得最小值时，.
故选：C
4．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．3D．12
【答案】A
【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选：A
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．5B．6C．5或6D．6或7
【答案】C
【分析】应用等差数列和的公式计算得出，再结合基本量运算得出通项，根据数列正负值及得出和的最大值.
【详解】，则，
由于，所以，
则等差数列是首项为正的单调递减数列，
令，解得，
所以当或6时，取得最大值．
故选：C.
【题型六：等差、等比数列奇偶项的和】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（ ）
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以．
故选：D.
2．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.
【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得，
而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比.
故选：B
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可.
【详解】项数为的中奇数项共有项,
其和为
项数为的中偶数项共有项, 其和为
所以解得
故选: A.
【题型七：等差、等比数列中an与Sn的关系】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项，公差再根据数列的函数特性判定选项即可.
【详解】由知，
显然时，，所以，
易知，
即数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.
故选：C
2．（2023·甘肃金昌·模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解.
【详解】由，，得,即，解得.
因为，所以，
两式相减得，即.
又，，所以，
所以是首项为2，公比为3的等比数列，
∴，．
故选:D.
二、填空题
3．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ．
【答案】
【分析】根据，可求出首项，继而利用时，，求出的表达式，验证后即可确定答案.
【详解】因为数列的前n项和，
故当时，，
当时，
，
由于不适合该式，故，
故答案为：
4．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可.
【详解】，当时，，
依题意，也应满足，所以有，得．
此时，，，满足是等比数列，所以.
故答案为：
5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用，关系求数列通项，注意验证是否满足.
【详解】当时，，因为，所以，
当时，，
则，即，，
所以是从以首项公比为3的等比数列，
则，
此时，令，，
所以，
故答案为：.
过关检测
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．45B．90C．180D．240
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式求.
【详解】由得，，
整理得，即，
所以.
故选：B
2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解.
【详解】因为数列均为等差数列，
所以.
故选：A
3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】D
【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值.
【详解】由，得，
因为数列为等比数列，所以成等比数列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因为等比数列的各项为正数，所以，
所以，
故选：D
4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质，判断数列的有关项的符号，再结合等差数列的求和公式求解.
【详解】因为数列为等差数列，且，，
所以数列为递减数列，，且，.
所以即，所以，
.
所以使的最小的的值为19.
故选：C
5．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（ ）
A．10B．13C．11D．22
【答案】A
【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.
【详解】等差数列 共2n+1个项，
其中奇数项有个，偶数项有个，
设等差数列的公差为，
奇数项和
①，
偶数项和
②，
①-②得，
则.
故选：A
二、多选题
6．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递增数列
C．D．
【答案】CD
【分析】根据作差得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得.
【详解】因为，当时，，解得；
当时，，则，即，
所以，则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，故A错误，C、D正确；
又，所以数列是递减数列，故B错误；
故选：CD
7．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是单调递增数列D．
【答案】BCD
【分析】当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由可得选项C正确；根据等差数列的性质求和可得选项D正确.
【详解】A.当时，，
当时，，
故，选项A错误.
B.由得，，故，选项B正确.
C. ∵，
∴是单调递增数列，选项C正确.
D. 由得，,
故，选项D正确.
故选：BCD.
8．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( ).
A．B．为等差数列
C．不可能为常数列D．若为递增数列，则
【答案】ABD
【分析】根据与的关系求出通项，然后根据公差和即可判断结果.
【详解】对于A选项：当时，，A正确；
对于B选项：当时，，
显然时，上式也成立，所以.
因为，
所以是以2k为公差的等差数列，B正确：
对于C 选项，由上可知，当时，为常数列，C错误；
对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确.
故选：ABD .
9．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【答案】AD
【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解.
【详解】
，即，
又，
是首项为1，公比为的等比数列，
，故A正确；
又当时，
当时，不符合上式，
，故BC错误；
当时，，故D正确.
故选：AD.
10．（2024高三·全国·专题练习）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】ABD
【分析】AB选项，根据数列各项均为正，得到，；C选项，由等比数列的性质及，得，，C错误；D选项，在ABC基础上得到，得到D正确.
【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，，，，B正确；
又，故，即，A正确；
C选项，由得，所以，
而，，因此，C错误；
D选项，由上知，
先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD
11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中最小项为
【答案】ABD
【分析】利用关系及等差数列通项公式得判断A；根据已知及A项分析得，进而确定的符号判断C；根据A、C项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n项和确定对应n的最小值判断B；根据以上分析确定各项符号判断D.
【详解】根据题意：，即，
两式相加，解得，当时，最大，故A正确；
由，可得，所以，
故，
所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当或时；当时；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．在前项和为的等差数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列前项和的公式，结合已知条件求即可.
【详解】由于，故，，两式相减得到.
而，故.
故答案为：
13．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 .
【答案】
【分析】先根据对数的运算得到等比数列，再结合等比中项可求得结果.
【详解】，可得，
所以，数列是公比为的等比数列，
因为，且，则，所以.
故答案为：.
14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得成等差数列，再结合等差数列的定义，即可求解.
【详解】由等差数列的性质，可得成等差数列，
所以，
因为，可得，解得，
所以构成首项为，公差为的等差数列，
则，故．
故答案为：.
15．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 .
【答案】
【分析】利用基本量法可求与公比，故可求.
【详解】设公比为.
因为，故，解得或者，
若，则且，此时，
若，则且，此时，
故答案为：.
16．（2024高三·全国·专题练习）各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用等差数列基本量的关系列出方程，用基本不等式或二次函数性质求最值.
【详解】解法一：因为，所以，
所以，因为，
所以，当且仅当时取等号．
解法二：因为，
所以，所以，
则，
故当时，取得最大值64．
解法三：（基本量思想）：设数列的公差为，
因为，所以，即，
所以，
当时，取得最大值64．
故答案为：
17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解.
【详解】设，
由题意可知：，解得，
所以．
故答案为：2.
18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， .
【答案】6
【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解.
【详解】由题意可得，，
，且，
当时，最大，即，解得.
故答案为：6.
19．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解.
【详解】为等差数列，且，
则前项和，是关于的二次函数，且，
因为仅当时，最大，所以对称轴在区间，
即，解得：，
则公差的取值范围是.
故答案为：
20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列和都为等差数列，其前项和分别为和，且满足，则 ； ．
【答案】
【分析】根据已知比例关系结合等差数列求和公式可设，再结合求和公式及等差数列项的性质计算即可.
【详解】因为，则设，
所以；
．
故答案为：；.
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