人教版数学八年级上册期末复习专题01 与三角形模型有关的角度计算（2份，原卷版+解析版）

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◎模型一 A字模型
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
1．（2022·湖北咸宁·七年级期中）如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．55°C．45°D．60°
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．
4．（2020·湖南·常德市第二中学九年级期中）如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为__．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
◎模型二 8字模型
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．
◎模型三 飞镖模型
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
11．（2022·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．130°
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若，则____________．
14．（2022·山东德州·七年级期末）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．
15．（2022·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．
◎模型四 双垂直模型
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
16．（2021·青海海东·八年级期中）如图，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，点C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为（ ）
A．94°B．92°C．90°D．88°
17．（2020·河南·郑州市第八中学模拟预测）如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．
19．（2021·江苏盐城·七年级期中）将含有角的直角三角板（）和直尺按如图方式摆放，已知，则______．
20．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
②若，时，求的长．
◎模型五 风筝模型

【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
21．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，将的一角折叠，若，则（ ）
A．50°B．65°C．115°D．130°
22．（2022·海南海口·七年级期末）如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在△ABC内部点C′处，若∠C=36°，则∠1+∠2等于（ ）
A．54°B．62°C．72°D．76°
23．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，在三角形纸片ABC中，，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若，则∠2的度数为_________.
24．（2022·湖北恩施·一模）图，把等边沿直线折叠，点落在处，若，则______．
25．（2022·江苏·扬州市竹西中学七年级期末）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：
(1)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．
(2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
◎模型六 两内角角平分线模型
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
26．（2022·山东东营·七年级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=125°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．45°
27．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（ ）
A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α
28．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知中，．在图1中、的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则_______________．
29．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，在△MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分线OB、OC交于点O，若∠O=m°，则∠A的度数是______________________________°（用含m的代数式表示）．
30．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
(1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °；
(2)如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
(3)若∠BEC=，∠BDC=，用含和的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）
◎模型七 两外角角平分线模型
【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--===.
31．（2022·江苏·江阴市祝塘第二中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022是（ ）度．
A．xB．xC．xD．x
32．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是△ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为_____．
34．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，在中，的内角和外角的角平分线交于点P，已知，则的度数为____________．
【答案】##84度
35．（2022·江苏镇江·七年级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系 ；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=∠E，求∠A的度数．
◎模型八 内外角角平分线模型
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
36．（2022·江苏·江阴市周庄中学七年级阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
37．（2022·四川宜宾·七年级期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
38．（2021·江苏·南通市通州区育才中学七年级阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，是外角与内角平分线交点，是，外角平分线交点，若，则_____________度．
39．（2022·全国·八年级课时练习）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．
40．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）如图1，在△ABC中，∠CBM和∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．
(1)若，求∠BDC的度数：
(2)过点D作DE⊥BD，垂足为D，过点B作BFDE交DC的延长线于点F（如图2），求证：BF是∠ABC的平分线．