浙江省台州市2023-2024学年高二（上）1月期末质量评估数学试卷（解析版）

这是一份浙江省台州市2023-2024学年高二（上）1月期末质量评估数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 直线的斜率等于（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】由直线的斜截式可知的斜率为.
故选：C
2. 若双曲线的离心率为2，则实数（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
【答案】A
【解析】由题意得,,解得.又，则.
​​​​​​​故选:A.
3. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，得.故选:C.
4. 已知等差数列的前项和为Sn.若，则其公差为（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由，
所以，又，，解得.
故选：D.
5. 如图，在平行六面体中，记，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可得：.
故选：A.
6. 人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列为正整数），若，则所有可能的取值的和为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 41
【答案】B
【解析】若，则由递推关系只能有，，有或，
当时，；当时，，
所以所有可能的取值为或，.
故选：B
7. 已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故选：B
8. 在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】依题意，，A正确；
显然，即，
因此，B正确；
由，同理得，
于是，由，得，
由，得，取中点，连接并延长至，
使，连接，取中点，连接，显然四边形为平行四边形，
则，，
于是，即有，
则，
，而平面，则平面，又平面，
因此，，而为公共边，所以≌，C正确；

显然线段不一定相等，而，，
即直角三角形的两条直角边不一定相等，与不一定垂直，又，
所以不一定垂直，D错误.
故选：D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知数列an和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 一定不是等差数列
C. 是等比数列
D. 一定不是等比数列
【答案】AC
【解析】A选项，设数列an的公比为，
则，
故，
所以是等比数列，A正确；
BD选项，设，满足数列an和是等比数列，
所以，
故此时是等差数列，也是等比数列，BD错误；
C选项，设数列an的公比为，数列bn的公比为，
则，故是等比数列，C正确；
故选：AC
10. 已知且，曲线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是双曲线
C. 当时，曲线的焦点坐标为
D. 当时，曲线的焦点坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，
故曲线是焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则，，
故曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，时，由A可得曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误；
对于D，时，由B可得曲线是焦点在轴上的双曲线，
曲线，可化为曲线，
双曲线的半焦距为，
故焦点坐标为，故D正确.
故选:ABD.
11. 如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 平面
B.
C.
D. 若分别为的中点，则为的中点
【答案】ACD
【解析】对于A，因为分别是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
由A可得，，因为分别是的中点，所以.
由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误；
对于C，
,故C正确；
对于D，因为是的中点，所以.
又因为是的中点，所以，
所以,
所以为的中点，故D正确.
故选:ACD.
12. 已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，有2个元素
C. 若有2个元素，则
D. 当时，有4个元素
【答案】ABD
【解析】A选项，时，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由得或，
故，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由，解得或，
同理可得，故表示的部分如图所示，

表示轴，故，A正确；
B选项，当时，，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，
整个圆位于轴上方，
，由于圆心到轴距离等于2，大于1，整个圆位于轴下方，
故表示的部分如图所示，

由于圆心到距离，
故直线与圆有两个交点，有2个元素，B正确；
C选项，当时，此时两圆圆心相同，半径相等，
此时表示的部分如图所示，

此时直线与有两个交点，而，C错误；
D选项，当时，
，由于圆心到距离为，
，由于圆心到的距离为
，
画出表示的部分如图所示，

此时直线分别与两圆交于两点，共4个交点，
所以有4个元素，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 点到直线的距离为______．
【答案】1
【解析】点到直线的距离.
故答案为：
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.
【答案】
【解析】由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得ca=33，故离心率为
故答案为：
15. 已知数列的前项和为.当时，的最小值是______.
【答案】4
【解析】由于，
故，
由，可得，
即，由于的值随n的增大而增大，
且时，，时，，
故n的最小值为：4，
故答案为：4
16. 已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为______.
【答案】
【解析】依题知直线的斜率存在且不为0，
设直线，，
联立，得，则，
，
设过点的切线方程为，
则，得，
由，得，
故过点的切线方程为，即，
同理过点的切线方程为，
联立得，则点，
则，得，
设，
联立，得，
，
，
.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆经过原点及点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
解：（1）设原点为，易知，
线段的中点为圆心，圆心坐标为.
线段的长为圆的直径，，半径.
圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
令，代入圆的标准方程，
解得或，则，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将其转化为一般式方程，
圆心到直线的距离为，则，
得，
化简得或，即直线的方程为或.
18. 已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）设等比数列的公比为，由题意得：
，即，
，得，解得或.
由于不符合题意，因此.
由得，，即.所以.
（2）由题意得，，
则，
则，
则，
则，
.
19. 在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（1）求的长度；
（2）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面，求的值.
解：（1）在长方体中，易知两两垂直，
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，
设，则，
设平面的法向量.
取，则.
若选择条件①，，设直线与平面所成角为，
则，
解得，或（舍去），即.
若选择条件②，易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，或（舍去），即.
（2）由题（1）得:.
设，则.
设平面的法向量
所以，即
取，则,又，
设平面的法向量.
令，则.
平面平面，
即，解得，所以.
20. 如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（1）求点的轨迹；
（2）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
解：（1），
因为，所以与两个定点的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即，即，
则椭圆的标准方程为，
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为1,0，
线段的中点坐标为0,2，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，已知点的坐标为1,0，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，
联立方程，
得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
综上，直线与点形成的轨迹相切.
21. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
解：（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.
因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.

（2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.
题意得：,
其中，表示点和点构成的直线的斜率，
当直线的斜率取得最小值时，取最大值.
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点的直线方程为：，
由相切可得，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
22. 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由已知得，故.
将代入方程，
得，
由得，.
因此双曲线的标准方程为.
（2）设，
则，则.
①当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
则,,
则
.
联立方程
可得，
因为过点的直线与双曲线交于两点，
所以，
即.
则.
故.
令，
整理得.
要使得对任意的上式恒成立，
则，
解得,
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点1,0，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6.