2024成都七中八上数学第七次周测_试卷+答案

这是一份2024成都七中八上数学第七次周测_试卷+答案，共26页。试卷主要包含了下列算式结果中，正确的是，下列命题是真命题的是，《孙子算经》中有一道题，原文是等内容，欢迎下载使用。
1．下列算式结果中，正确的是（ ）
A．8−3=5B．3+4=5C．4+9=5D．32−2=3
2．如果m＜n，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．mc2＜nc2B．3﹣m＞3﹣nC．2m＜2nD．m﹣3＜n﹣1
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．若|a|＝﹣a，则a＜0
B．三角形中至少有一个钝角
C．对应角相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，AC＝3，BC＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．43C．32D．2
5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A．y−x=4.512y=x−1B．x−y=4.512y=x−1
C．y−x=4.512y=x+1D．x−y=4.512y=x+1
6．2023年10月8日，第十九届杭州亚运会圆满结束．各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色的实力．中国体育代表团在本届亚运会上，收获了201枚金牌，取得了亚运会参赛历史最好成绩，中国成为首个在单届亚运会上获得200枚以上金牌的国家．现将我国近六届亚运会的金牌数统计如下，在这组数据中，金牌数的中位数是（ ）
A．155B．158C．165D．199
7．如图，直线y1＝ax（a≠0）与y2＝x+b交于点A（﹣1，2），直线y2＝x+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），则下列四个结论：
①a＜0，b＞0；
②当x＞0时，y1＜0；
③当x＞﹣1时，y1＜y2；
④当0＜y2＜y1时，﹣3＜x＜﹣1．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，8），过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为（ ）
A．（10，4）B．（10，3）C．（10，2.5）D．（10，2）
二．填空题（共5小题）
9．点P（﹣2，﹣4）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 ．
11．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝ 度．
12．如图，直线y=33x+5与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB，BO上的两个动点，OP=3，∠BAO＝30°，则△PCD周长的最小值为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 ．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）(4+7)(4−7)；
（2）6×3+32÷8+|1−2|．
15．解方程组：
（1）x−y=12x+y=2；
（2）x=2yx+4y−6=0．
16．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1500名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成不完整的条形和扇形统计图，如图所示．
大赛结束后一个月，再次调查了这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初，学校共调查了 名学生；大赛结束之后，m的值为 ；
（2）活动启动之初，“一周诗词诵背6首”所在扇形的圆心角的度数为 ；并补全条形统计图；
（3）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数．
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB＝2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
18．每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为y乙（棵），y甲，y乙与x之间的函数关系图象如图所示：
（1）求y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求m，n的值，并说明n的实际意义；
（3）甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？（请直接写出答案）
19．根据以下素材，探索完成任务．
20．综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
第七次数学周测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列算式结果中，正确的是（ ）
A．8−3=5B．3+4=5C．4+9=5D．32−2=3
【分析】根据二次根式的加减运算，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、8−3=22−3≠5，计算错误，故本选项错误；
B、3+4=2+3≠5，计算错误，故本选项错误；
C、4+9=2+3＝5，计算正确，故本选项正确；
D、32−2=22，计算错误，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
2．如果m＜n，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．mc2＜nc2B．3﹣m＞3﹣nC．2m＜2nD．m﹣3＜n﹣1
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵m＜n，
∴mc2＜nc2（c≠0），
故A符合题意；
B、∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴3﹣m＞3﹣n，
故B不符合题意；
C、∵m＜n，
∴2m＜2n，
故C不符合题意；
D、∵m＜n，
∴m﹣3＜n﹣3，
∴m﹣3＜n﹣1，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．若|a|＝﹣a，则a＜0
B．三角形中至少有一个钝角
C．对应角相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据真命题概念逐项进行判断即可．
【解答】解：A．若|a|＝﹣a，则a≤0，故选项是假命题，不符合题意；
B．三角形中三个角可以都是锐角，没有钝角，故选项是假命题，不符合题意；
C．对应角相等的两个三角形不一定全等，故选项是假命题，不符合题意；
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了真假命题，掌握真假命题概念是关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，AC＝3，BC＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．43C．32D．2
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，利用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=32+42=5，
S△ABC=12AB•DE+12AC•CD=12AC•BC，
即12×5•CD+12×3•CD=12×3×4，
解得CD=32．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键．
5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A．y−x=4.512y=x−1B．x−y=4.512y=x−1
C．y−x=4.512y=x+1D．x−y=4.512y=x+1
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
y−x=4.512y=x−1，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．2023年10月8日，第十九届杭州亚运会圆满结束．各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色的实力．中国体育代表团在本届亚运会上，收获了201枚金牌，取得了亚运会参赛历史最好成绩，中国成为首个在单届亚运会上获得200枚以上金牌的国家．现将我国近六届亚运会的金牌数统计如下，在这组数据中，金牌数的中位数是（ ）
A．155B．158C．165D．199
【分析】根据中位数的定义求解即可得．
【解答】解：将这组数据从小到大进行排序为132，150，151，165，199，201，第3个数和第4个数的平均数即为中位数，
则在这组数据中，金牌数的中位数是151+1652=158，
故选：B．
【点评】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．
7．如图，直线y1＝ax（a≠0）与y2＝x+b交于点A（﹣1，2），直线y2＝x+b与x轴的交点坐标为（﹣3，0），则下列四个结论：
①a＜0，b＞0；
②当x＞0时，y1＜0；
③当x＞﹣1时，y1＜y2；
④当0＜y2＜y1时，﹣3＜x＜﹣1．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可．
【解答】解：因为y1＝ax（a≠0）经过二，四象限，所以a＜0，y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，故①正确；
∵a＜0，当x＞0时，y1＜0，故②正确；
结合图象可得，当x＞﹣1时，直线y1＝ax（a≠0）的图象在y2＝x+b的图象下方，y1＜y2，故③正确；
结合图象，当y2＜y1时，x＜﹣1，
∵0＜y2＜y1，
∴x＞﹣3，
∴﹣3＜x＜﹣1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确记忆正比例函数和一次函数的性质是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，8），过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为（ ）
A．（10，4）B．（10，3）C．（10，2.5）D．（10，2）
【分析】由折叠性质得到CE＝CA＝10，DE＝DA＝8﹣m，利用勾股定理计算出OE＝6，则EB＝4．在Rt△DBE中利用勾股定理得到（8﹣m）2＝m2+42．然后解方程求出m即可得到点D的坐标．
【解答】解：如图，
设DB＝m．
由题意可得，OB＝CA＝10，OC＝AB＝8，
∵△CED与△CAD关于直线CD对称，
∴CE＝CA＝10，DE＝DA＝8﹣m，
在Rt△COE中，OE=CE2−OC2=102−82=6，
∴EB＝10﹣6＝4．
在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，
∴DE2＝DB2+EB2．
即（8﹣m）2＝m2+42．
解得m＝3，
∴点D的坐标是（10，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．点P（﹣2，﹣4）关于y轴对称的点的坐标是 （2，﹣4） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于y轴对称的点的坐标是（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
10．如图，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，则∠A的度数是 45° ．
【分析】利用三角形的外角性质，即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠DCA是△ABC的外角，
∴∠DCA＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠DCA﹣∠B＝100°﹣55°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
11．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝ 70 度．
【分析】先根据已知条件求出∠ACB的底数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出∠EFD，最后利用三角形内角和求出∠1即可．
【解答】解：由折叠可知：∠AED＝∠A′ED，
∵∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90，
∵EA'∥BC，
∴∠AEA′＝∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠A′ED＝45°，
∵EA'∥BC，∠B＝65°，
∴∠EFD＝∠B＝65°，
∵∠1+∠EFD+∠A′ED＝180°，
∴∠1＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，由折叠得到哪些角相等．
12．如图，直线y=33x+5与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB，BO上的两个动点，OP=3，∠BAO＝30°，则△PCD周长的最小值为 221 ．
【分析】过点N作HN⊥x轴于点H，PN交AB于点T，连接NQ交AB于点C，交y轴于点D，此时，△PCD周长最小，即可求解．
【解答】解：由一次函数的表达式得，点A（﹣53，0），则AP＝43，
作点P关于y轴的对称点Q（3，0），点P关于直线AB的对称点N，则PD＝QD，CP＝CN，
过点N作HN⊥x轴于点H，PN交AB于点T，连接NQ交AB于点C，交y轴于点D，此时，△PCD周长最小，
理由：△PCD周长＝PC+CD+PD＝NC+CD+DQ＝QN为最小，
在Rt△APT中，∠BAO＝30°，则PT=12AP＝23，∠NPH＝60°，
则PN＝2PT＝43，
则Rt△PNH中，NH＝PN•sin∠NPH＝43×32=6，PH=12PN＝23，
则点N（﹣33，6），
由点NQ的坐标得，NQ=(3+33)2+62=221，
故答案为：221．
【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及到解直角三角形、最值的确定、点的对称性等，综合性强，难度适中．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 8或5或258 ．
【分析】根据△ABP为等腰三角形进行分类讨论，分别求出BP的长，即可求出t的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
由勾股定理得：BC=102−62=8（cm），
①当AB＝AP时，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BP，
∴PC＝BC＝8（cm），
∴BP＝16（cm），
∴t＝16÷2＝8（s），
②当BP＝BA＝10cm时，如图2所示：
∴t＝10÷2＝5（s），
③当PA＝PB时，如图3所示：
设BP＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，
∴x=254，
∴BP=254cm，
∴t=254÷2=258（s）；
综上所述，t的值为8或5或258，
故答案为：8或5或258．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，正确地分类是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题）
14．计算：
（1）(4+7)(4−7)；
（2）6×3+32÷8+|1−2|．
【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；
（2）先计算乘除法、绝对值，再合并即可．
【解答】解：（1）(4+7)(4−7)
＝16﹣7
＝9；
（2）6×3+32÷8+|1−2|
=32+2+2−1
=42+1．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算、平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15．解方程组：
（1）x−y=12x+y=2；
（2）x=2yx+4y−6=0．
【分析】（1）加减消元法求解即可；
（2）代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）x−y=1①2x+y=2②，
①+②得，3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入①得y＝0，
∴方程组的解为x=1y=0；
（2）解：x=2y①x+4y−6=0②，
将①代入②得，2y+4y﹣6＝0，
解得y＝1，
将y＝1代入①得，x＝2，
∴方程组的解为x=2y=1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的运算．
16．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1500名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成不完整的条形和扇形统计图，如图所示．
大赛结束后一个月，再次调查了这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初，学校共调查了 180 名学生；大赛结束之后，m的值为 19 ；
（2）活动启动之初，“一周诗词诵背6首”所在扇形的圆心角的度数为 50 ；并补全条形统计图；
（3）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数．
【分析】（1）根据活动启动之初诵背5首的学生人数除以所占百分比即可得学校调查的人数，从而求得m的值；
（2）利用360°乘以活动启动之初，一周诗词诵背6首学生所占百分比可求得一周诗词诵背6首所在扇形的圆心角的度数，利用调查的学生总人数乘以诵背4首的学生人数所占百分比即可得活动启动之初，诵背4首的学生人数，据此补全条形统计图；
（3）利用1500乘以大赛后一个月，一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数所占百分比即可得．
【解答】解：（1）30÷60°360°=180（名），
∴活动启动之初，学校共调查了180名学生，
∴m＝180﹣10﹣25﹣48﹣40﹣38＝19，
故答案为：180，19；
（2）活动启动之初，“一周诗词诵背6首”所在扇形的圆心角的度数为360°×25180=50°，
活动启动之初，诵背4首的学生人数为180×128°360°=64（人），
则补全条形统计图如下：
故答案为：50°；
（3）1500×48+40+38180=1050（人），
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数为1050人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图、统计表、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB＝2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 13+1 ．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【分析】（1）用含a、b的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；
（2）①根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可．
②设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AD＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得22+（x﹣1）2＝x2，即可得到结论．
【解答】解：（1）由图3的左图可知：(a+b)2=4×12ab+c2，即（a+b）2＝2ab+c2，
由图3的右图可知：(a+b)2=a2+4×12ab+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2．
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2．
∴c2＝a2+b2．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）①在Rt△DBA中，
∵DB=DA2+AB2=32+22=13，
∴DC=13，
∴点C表示的数是13+1，
故答案为：13+1；
②∵CF＝1.5m，BE＝0.5m，
∴DB＝1m．
设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AD＝（x﹣1）m，
利用勾股定理可得22+（x﹣1）2＝x2．
解得：x＝2.5．
答：绳索AC的长为2.5m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
18．每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为y乙（棵），y甲，y乙与x之间的函数关系图象如图所示：
（1）求y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求m，n的值，并说明n的实际意义；
（3）甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？（请直接写出答案）
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据函数图象中的数据，可以先计算出乙每小时植树的棵数，然后即可计算出n的值和m的值，再写出n的实际意义即可；
（3）根据图象中的数据，可以计算出甲2小时后每小时植树的棵数，然后即可列出相应的方程，再解方程即可．
【解答】解：（1）设y乙与x之间的函数关系式是y乙＝kx，
∵点（5，100）在该函数图象上，
∴100＝5k，
解得k＝20，
即y乙与x之间的函数关系式是y乙＝20x（0≤x≤5）；
（2）由图象可得，
乙每小时植树：100÷5＝20（棵），
则甲每小时植树：35﹣20＝15（棵），
∴n＝15，m＝220﹣100＝120，
即m的值是120，n的值是15，n的实际意义表示刚开始甲1小时植树15棵；
（3）设甲、乙两个小组经过a小时共植树165棵，
甲2小时之后每小时植树：（120﹣15）÷（5﹣2）＝35（棵），
20a+15+35（a﹣2）＝165，
解得a＝4，
答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
19．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：根据“买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元”列方程组求解；
任务2：①根据“A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的13”求出总数，再求解；
②根据“购买奶茶一共用了190元”列方程，再求出整数解．
【解答】解：任务1：设A款普通奶茶的单价为x元，B款普通奶茶的销售单价为y元，
则：2x+3y=764x+5y=136，
解得：x=14y=16，
答：A款普通奶茶的单价为14元，B款普通奶茶的销售单价为16元；
任务2：①∵A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的13，
∴购买奶茶总杯数3m，
∴A款加料奶茶与B款奶茶之和为：3m﹣m＝2m，
故答案为：2m；
②由题意得：14m+16（2m﹣n）+18n＝190，且n＜3m，
方程的整数解为：m＝4，n＝3，
∴3m＝12，
答：班主任购买奶茶的总杯数为12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
20．综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP．
易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数．
【分析】【探索发现】小刚的方法：先证AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质得∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，据此即可得出结论；小红的方法：先由AB∥CD得∠BAP＝∠PMC，再根据三角形的外角定理得∠APC＝∠PMC+∠PCD，据此即可得出结论；
【深入思考】先根据三角形的外角定理得∠AGE＝∠APE+∠PEG，再根据∠AGE＝∠PAC+∠PEG得∠APE＝∠PAC，然后根据平行线的判定可得出结论；
【拓展延伸】设∠PEG＝α，则∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，进而可得∠AGE＝130°﹣3α，根据在（2）的条件下∠PAC+∠PEG＝∠AGE，得50°+α＝130°﹣3α，由此解出α＝20°，设∠PFH＝β，则∠PFC＝2∠PFH＝2β，再根据AB∥CD得∠AEF＝∠PFC＝2β，进而得∠AEG＝∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，然后根据在（2）的条件下得AC∥EF，则∠AHF＝∠CAH+∠PFH，由此得2β﹣20°＝25°+β，据此求出β即可得∠PFC的度数．
【解答】【探索发现】解：小刚的证明如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠BAP+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
小红的证明如下：
延长AP交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠PMC，
∵∠APC是△PCM的一个外角，
∴∠APC＝∠PMC+∠PCD，
即∠APC＝∠BAP+∠PCD；
【深入思考】证明：∵∠AGE是△PGE的一个外角，
∴∠AGE＝∠APE+∠PEG，
∵∠AGE＝∠PAC+∠PEG，
∴∠APE＝∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°，
∴∠PAC＝2∠CAH＝50°，
设∠PEG＝α，
∴∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，
∴∠AGE＝180°﹣∠PGE＝130°﹣3α，
∵在（2）的条件下，
∴∠PAC+∠PEG＝∠AGE，
∴50°+α＝130°﹣3α，
解得：α＝20°，
∴∠PEG＝20°，
设∠PFH＝β，
∵FH平分∠PFC，
∴∠PFC＝2∠PFH＝2β，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠PFC＝2β，
∴∠AEG＝∠AEF﹣∠PEG＝2β﹣20°，
∴∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，
∵在（2）的条件下，
∴AC∥EF，
∴∠AHF＝∠CAH+∠PFH，
即2β﹣20°＝25°+β，
解得：β＝45°，
∴∠PFC＝2β＝90°
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/16 13:54:05；用户：黄辉煌；邮箱：15907671525；学号：29752787一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
m
25
48
40
38
背景
为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励
素材1
买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；
买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．

素材2
为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3
班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的13
问题解决
任务1
求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2
学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格：
款式
普通奶茶（杯）
加料奶茶（杯）
A
m
B
n
①A款加料奶茶与B款奶茶之和为 （用含m，n的代数式表示）；
②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．

小刚：如图2，过点P作PQ∥AB.
小红：如图3，延长AP交CD于点M.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
C
A
B
D
B
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
m
25
48
40
38
背景
为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励
素材1
买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；
买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．

素材2
为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3
班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的13
问题解决
任务1
求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2
学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格：
款式
普通奶茶（杯）
加料奶茶（杯）
A
m
B
n
①A款加料奶茶与B款奶茶之和为 2m （用含m，n的代数式表示）；
②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．

小刚：如图2，过点P作PQ∥AB.
小红：如图3，延长AP交CD于点M.