2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市高二上学期12月联考数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线过点，，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．4D．
3．直线与直线平行，则（ ）
A．B．C．或D．
4．已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
6．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．31
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线
10．记等差数列的前项和为，数列的前项和为.已知当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当或14时，取得最大值
D．若，则当或14时，取得最大值
11．已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆上存在点使得
C．直线的方程为
D．的周长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．记为等比数列的前项和，若，则 .
13．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： .
14．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2024项和.
16．已知，点在直线上.
(1)若点的横坐标为，求的面积；
(2)若的周长最小，求点的坐标及的周长.
17．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.
18．已知圆，直线，点在直线上.
(1)求的取值范围；
(2)过点引圆的两条切线，切点为.
（i）求四边形面积的最小值：
（ii）设中点为，是否存在定点使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
19．如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲线的虚轴及实轴，则称两条双曲线共轭.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，设双曲线的共轭双曲线为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的切线与以及两条渐近线自上而下依次交于点，求证：
（i）为定值；
（ii）.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由于的斜率为，故倾斜角满足，
又，从而.
故选：D.
2．【正确答案】C
【详解】数列是公差为2的等差数列，
，，
成等比数列，
，即，解得，
故选：C.
3．【正确答案】B
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线平行，
则，解得.
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程,
又经过，两点，
所以，解得，
所以圆的标准方程.
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】 ，渐近线方程是，故选C,
6．【正确答案】A
【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解．
【详解】设点，则，，
所以，
所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3．
由此可知圆与有公共点，
又因为圆的圆心为，半径为2，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选A．
7．【正确答案】C
【详解】点关于原点对称，所以线段互相平分，故四边形为平行四边形，
又，故，所以四边形是矩形，故，其中，
设，则，由，得，整理得，
由于点在第一象限，所以，
由，得，即，
整理得，即，解得．
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】由题意，数列元素依次为，，
在到之间3的个数为，故到处共有35个元素，
所以前30项中含，，及26个3，
故，
而，
故成立的最小的为29.
故选：B
9．【正确答案】BD
【详解】对选项A，，曲线，半径为，
故A错误.
对选项B，若，曲线，是两条直线，
故B正确.
对选项C，若时，.
曲线为焦点在轴的椭圆，故C错误.
对选项D，时，不妨设，曲线即表示双曲线，
故D正确.
故选：BD
10．【正确答案】ACD
【详解】等差数列中，当且仅当时，取得最大值可得数列为递减数列；
且当时，，当时，；
对于A，若，即可得，所以；
则，即有，
，，
以此类推可知，，
则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即A正确；
对于B，若，即可得，则，
即有，
，；
以此类推可知，，
则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即B错误；
对于C，若，即可得，所以；
则，即有，
，，
以此类推可知，，
则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，，取得最大值，即C正确；
对于D，若，可得，
由于，可得，
即，
，，
以此类推可知，，
则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即D正确；
故选：ACD
11．【正确答案】BCD
【详解】A.由条件可知，，解得：，所以椭圆，
所以，椭圆的离心率，故A错误；
B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆上存在点使得，故B正确；
C.设Mx1,y1，Nx2,y2，代入椭圆方程，，
两式相减得，由题意可知，，，
所以，，所以，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理为，故C正确；
D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确.
故选：BCD
12．【正确答案】/
【详解】设公比为，因为，所以由得，即，解得，
所以.
故答案为.
13．【正确答案】（答案不唯一）
【详解】因为圆的圆心为，半径，
设所求圆的圆心为，则，
且或，
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
若，，无解，不合题意；
若，，解得或，
可得圆心为或，
所求圆的方程为或；
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
故（答案不唯一）.
14．【正确答案】/
【详解】据题意有，，设，则.
所以，而，故，故.
再由可知，所以，故.
从而，故，从而.
故，得，故，.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公比为，则.
因为是和的等差中项，所以，
即，
解得或（舍去）或（舍去）
所以.
（2）由（1）知
，
.
，
故的前2024项和.
16．【正确答案】(1)
(2)，
【详解】（1），代入，解得，即，
解法一：，
.
解法二：根据得出，
到AB的距离为，
.
（2）设点关于直线的对称点为，
由题意得，解得，即，
因为，
所以三点共线距离和最小，即的周长最小，
，交于点，解得，
此时.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意
又，故的轨迹为椭圆.
故的轨迹方程为
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为
联立，得
设Ax1,y1,Bx2,y2，则
由，得，
所以，消去得，
解得，所以直线的方程为.
18．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，
【详解】（1）因为点在直线上，直线的方程为，
故可设点的坐标为，
圆的圆心的坐标为0,2，半径为，
所以
所以的取值范围为
（2）（i）因为为圆的两条切线，所以，
又，
所以
圆心到直线的距离为
所以当时，四边形的面积取最小值，最小值为，

（ii）由（i）得四点共圆，且以为直径，
因为，，
所以该圆方程为，
在圆上
又在圆上
两式作差可得直线为，
即，
所以直线过定点，
因为，所以点在以为直径的圆上，
取的中点为，
恒有为定值.

19．【正确答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由，得
所以双曲线的方程为
双曲线的方程为
（2）（i）当切线斜率不存在时，切线方程不妨设为
与联立解得
当切线斜率存在时，设其方程为
由切线与双曲线联立得
，消去得
由得， 得切点，
联立切线方程与双曲线的方程
，消去得
设，则
到的距离为,
（ii）由（i）当切线斜率不存在时，易证
当切线斜率存在时， 得，
联立切线与双曲线的渐近线方程 ，解得，.
∴
线段的中点坐标为，即为的中点，即.
又由（i）知，.
于是线段的中点为，即.
所以