新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲 双曲线(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】方程表示双曲线,则，解得或，
故选：D
2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（ ）
A．30B．24C．15D．12
【答案】A
【详解】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，
所以双曲线C的焦距为30.
故选：A.
4．（2023·陕西安康·统考三模）若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【详解】双曲线的渐近线方程为，即,
∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，
∴，解得．
故选：B
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】双曲线可得，，，
所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，
因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，
所以，解得.
故选：B.
6．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可知，则的离心率．
故选：A.
7．（2023·四川绵阳·模拟预测）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】椭圆的焦点坐标为：
在双曲线中：，，所以，，，
所以双曲线的方程为：.
故选：B
8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【详解】因为双曲线，可知右焦点为，，
又，
所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以点的纵坐标为，即的高为，
所以的面积为.
故选：C.

二、多选题
9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则（ ）
A．上任意一点到的距离之差的绝对值为定值
B．双曲线与双曲线：共渐近线
C．上的任意一点（不在轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为
D．过点作直线交于两点，不可能是弦中点
【答案】AB
【详解】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，
所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，
由双曲线定义知，故A正确；
双曲线的渐近线方程是，
双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；
上的任意一点（不在轴上）设为，则，即，
又两顶点为，
所以斜率之积为，故C错误；
易知点在双曲线的右侧，
此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.
故选：AB
10．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
【答案】AB
【详解】设，
A选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；
B选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；
C选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；
D选项，，即，变形为，且，
故点的轨迹为除去点的直线，D错误；
故选：AB
三、填空题
11．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ．
【答案】/
【详解】，，则，，，
.
故答案为：.
12．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，则有，
所以，
则双曲线的离心率的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
13．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件知，，
故.
即双曲线标准方程为.
（2）设，到直线的距离为，
联立得，
由，解得，
又，故，
而又由，
故弦长，，
又，
解得，，
又，故.
14．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意设双曲线的方程为（，），（），
由椭圆得到焦点为，椭圆的离心率为.
因为双曲线与椭圆有公共焦点，则，
因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，
则，即，所以，
故双曲线的方程是.
（2）由（1）结合双曲线和椭圆的定义得：
，，
解得：或，又，
所以在由余弦定理得：，
故的值为.
B能力提升
1．（2023春·四川广元·高二广元中学校考期中）双曲线的左焦点为F1（－c,0），过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，所以，，即，是的中点，
过点作直线与圆相切于点，，
是的中点，，
，，，
由双曲线的定义可得，，，，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，
由，得，且，
所以，，
因为，且大于，
所以，
所以，解得，
又因为，解得，
所以，
故选：D．
3．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，
不妨设双曲线的这条渐近线方程为，
由，得：或，所以，
双曲线的左顶点为，则，
所以，，
因为，所以，化简得，
所以，所以，所以，
又，所以.
故答案为：

4．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，
因为，所以，则，
因为为直线的倾斜角，且，
所以在中，，且，
则，即，即，
即，解得，
所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
C综合素养
1．（2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由题意得：，解之得，即双曲线的右焦点为，
，所以；
（2）
根据题意不妨设直线l的方程为，，，，
则由得
∴
∵，∴，
又，
同理，
∴，
当且仅当，时，“＝”成立，
即，
此时，直线l的方程为．
2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，，
又离心率为，即，则.
所以，
双曲线C的标准方程.
（2）设动点，点，由线段的中点为Q，
则，代入双曲线C的方程得，
所以Q的轨迹方程.
（3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则，
则，，或，
，
，
当时，取最小值，最小值为.