新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 椭圆(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二单元测试）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由知，焦点为，，即，.
设所求椭圆方程为，则，解得，
故所求椭圆方程为.
故选：A.
2．（2023春·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【详解】椭圆即，焦点在轴上，
所以，，所以，
又椭圆的焦距为，所以，解得.
故选：A
3．（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12B．C．16D．10
【答案】C
【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，
故选：C.
4．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，
因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，
所以，即，
整理得，
故选:C.
5．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【详解】由题意，当且仅当时等号成立，
所以，即，故最大值为.
故选：C
6．（2023秋·高二单元测试）是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【详解】如图，平分的外角，，垂足为，直线交的延长线于，令椭圆长轴长为，
于是，为的中点，而为的中点，则，
若过作的外角平分线的垂线，垂足为，同理得，
所以P点的轨迹是以椭圆中心为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆.
故选：A
7．（2023春·湖北·高二校联考期中）记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，
所以，
因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，
因为直线的倾斜角为，
所以，又，
化简，所以解得.
故选：A.
8．（2023·浙江·二模）已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，可得，
可得圆的圆心坐标为，半径，
由椭圆，可得，
设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，
所以，又由,
如图所示，当点四点共线时，即时，取得最小值，
最小值为，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8B．
C．面积为D．
【答案】AD
【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，
则，，
所以，故B错；
的周长为，A正确；
设，
在中，
得，
所以，D正确；
，
所以，
故C不正确，
故选：AD．
10．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4D．若，则该椭圆经过点
【答案】BC
【详解】A：因为方程表示椭圆，
所以，解得，且，故A错误；
B：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，故B正确；
C：若，则椭圆方程为，
所以，从而，故C正确；
D：若，则椭圆方程为，
点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023秋·高二课时练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为 ．
【答案】3或
【详解】由椭圆，可得椭圆，
当时，表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，即，
当时，表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
综上，实数a的值为3或.
故答案为：3或.
12．（2023·全国·高三对口高考）已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有 个．
【答案】2
【详解】不妨设，，，则，
所以轨迹方程为，轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，
而椭圆中，，故的轨迹与椭圆交于短轴顶点，
所以在C上满足的点有2个.
故答案为：2
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
【答案】；
【详解】
设，，则，，
由得.因为在C上，所以.
因此点P的轨迹为.
14．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；
(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）因为椭圆的焦点分别是，所以
又因为，，联立可得，，
所以椭圆的方程为；
（2）由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，，
由点B为椭圆的短轴端点，所以或，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
所以点B与两点的连线的斜率的乘积为；
（3）因为点P在这个椭圆上，所以，由小问（1）知，
所以，又，联立可得.
B能力提升
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设关于直线的对称点，
由，得．

可知，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，
所以.
故选：D．
2．（2023春·广东汕头·高二统考期末）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，
则，
如图：

当点P在位置M时，取到最大值，
当点P在位置N时，取到最小值，
所以的取值范围是，即，
所以的最大值，最小值，
所以.
故选：C.
3．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，则，所以平行四边形为矩形，故，
设，，则，
在直角中，，，
所以，则，
所以，
令，得，
又由，得，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以 ，即，则，故，
所以，
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：B.
4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上． 当取最大值时，比的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.
证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上任一点，连接交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠，当且仅当重合时∠取得最大值.
如图所示，由题意易得，根据米勒最大张角定理可知：当的外接圆与直线相切于P时，此时夹角最大，设其圆心，
则，解之得或，由圆的性质知：，
显然时，张角最大为60°，
而此时则.
故选：D
C综合素养
1．（2023·广东深圳·统考二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）椭圆的离心率，
则，即，
所以，椭圆方程为.
将点代入方程得，
故所求方程为.
（2）点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
设，则.
.
点到的距离.
令，则则.
因为，所以当时，是所求最大值.

2．（2023春·河北邢台·高二统考期末）椭圆的两焦点为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是坐标原点，是椭圆上两点，是平行四边形，求以为直径的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
则，又，所以，故椭圆的方程为.
（2）的中点为，设，，
则，，
两式相减整理得，其中，
，，
故，则.
故的方程为，即，
代入椭圆方程整理得
得，，所以，
故所求圆的方程为.