新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 数列章节总结 (高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6584" 题型一：数列求通项 PAGEREF _Tc6584 \h 2
\l "_Tc31979" 角度1：数列前项和法 PAGEREF _Tc31979 \h 2
\l "_Tc20603" 角度2：数列前项和法 PAGEREF _Tc20603 \h 4
\l "_Tc28351" 角度3：累加法 PAGEREF _Tc28351 \h 6
\l "_Tc22471" 角度4：累乘法 PAGEREF _Tc22471 \h 7
\l "_Tc25890" 角度5：构造法 PAGEREF _Tc25890 \h 9
\l "_Tc26599" 角度6：倒数法 PAGEREF _Tc26599 \h 11
\l "_Tc4743" 角度7：递推关系求通项 PAGEREF _Tc4743 \h 12
\l "_Tc8079" 角度8：隔项等差(等比）数列 PAGEREF _Tc8079 \h 13
\l "_Tc8370" 题型二：数列求和 PAGEREF _Tc8370 \h 16
\l "_Tc30663" 角度1：倒序相加法 PAGEREF _Tc30663 \h 16
\l "_Tc10621" 角度2：分组求和法 PAGEREF _Tc10621 \h 16
\l "_Tc23600" 角度3：裂项相消法 PAGEREF _Tc23600 \h 17
\l "_Tc26245" 角度4：错位相减法 PAGEREF _Tc26245 \h 21
\l "_Tc12906" 角度5：奇偶项讨论求和 PAGEREF _Tc12906 \h 25
\l "_Tc22400" 角度6：插入新数列混合求和 PAGEREF _Tc22400 \h 27
题型一：数列求通项
角度1：数列前项和法
1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当时，有，所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
当时，，
则时，，
两式相减得，
即，，，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
，
3．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以对任意的，．
5．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列满足，前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由可得，
即，
因为，所以，则，
，
所以，
又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，
当时，，
当时，，
所以；
6．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列的前和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）正项数列，当时，由，解得，
由，所以，
所以，即，
，
数列是正项数列，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列，
所以.
角度2：数列前项和法
1．（2023·福建南平·统考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
2．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1）是等差数列，，
即：，又，
，
.
又，
当时，，符合上式，
.
3．（2023春·江西·高二校联考期中）已知正项数列的前项积为，.
(1)证明：数列为等差数列.
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：当时，，即.
当时，，得（舍去），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意知为正项数列的前项的乘积，且，
当时，，所以，解得；
又①，②，
②÷①得，，即，
所以，即，所以，
所以，
结合，可知数列是常数列，
所以，所以，所以.
角度3：累加法
1．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】因为，所以，
则当，时，，
将个式子相加可得，
因为，则，
当时，符合上式，
所以，，，
故选：D.
2．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）数列满足，，则___________．
【答案】
【详解】因为，
所以，
，
，
，
，
累加得：
故答案为：.
3．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以，所以，
又，所以，
又当时也适合上式，
所以．
角度4：累乘法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以
当时， 满足条件，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以 .
2．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和.已知，.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为时，，所以，两式相减得到，化简整理得，所以，当时，，
又当，，又，解得.
所以，当时，，
又当时，，满足，当时，，不满足，
综上所述，.
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴
角度5：构造法
1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）∵，
又∵，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
∴，
∴；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求.
【答案】
【详解】因为
所以两边同时加上得：，
所以，
，
当时，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
于是
3．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）在数列中，，．
(1)求的通项公式．
【答案】(1)
【详解】（1）因为，，
所以，显然（否则与矛盾），则．
因为，所以，
所以是以1为首项，4为公比的等比数列．
所以，即，
故的通项公式为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【详解】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
角度6：倒数法
1．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，求．
【答案】
【详解】由已知关系式得,
所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，
所以
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
角度7：递推关系求通项
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，
令，有，，
当时，，
又满足上式，于是，则，
当时，，
又满足上式，因此，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项．
【答案】
【详解】其特征方程为，化简得，解得，
令由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项．
【答案】
【详解】其特征方程为，解得，令，
由，得，
．
角度8：隔项等差(等比）数列
1．（2019春·安徽合肥·高一合肥一六八中学校考期末）若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．
（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；
（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．
①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）① 当为偶数时，，
当为奇数时，；②
【详解】（Ⅰ）易得数列
前项之和
（Ⅱ）①（）（A）
（B）
（B）（A）得（）．
所以，为公差为2的“隔项等差”数列．
当为偶数时，，
当为奇数时，；
②当为偶数时，；
当为奇数时，
．
故当时，，，，
由，则，解得．
所以存在实数，使得成等比数列（）
2．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【详解】（1）由已知，
所以，
相除得；
又，
所以，
所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，
由得，
由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，
所以，
所以存在正数使得数列是等比数列.
3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求正整数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意，各项均不为零的数列的前项和为，满足且，
当时，，解得，
当时，，两式相减得，
因为数列中各项均不为零，即.
所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；
偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
当时，，即；
当时，，即，
综上，数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，
因为，所以，
当时，，即不等式恒成立；
当时，.
故正整数的最大值为.
题型二：数列求和
角度1：倒序相加法
1．（2023·高三课时练习）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.
【答案】11
【详解】因，
设，则，故.
故答案为：11
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【答案】
【详解】因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
角度2：分组求和法
1．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C
2．（2023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）已知数列满足，则的前40项的和为______．
【答案】820
【详解】当为奇数时，，，
两式相减得；
当为偶数时，，，
两式相加得.
所以
.
故答案为：820.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前30项和为 _______.
【答案】465
【详解】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
角度3：裂项相消法
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）已知数列的首项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由得，且
则数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，
可得，从而 .
（2），
故 ，
故 .
2．（2023·江西·校联考二模）已知数列是公差为的等差数列，且，若16和26分别是中的项.
(1)当取最大值时，求通项；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得，数列单调递增，不防设，且，
∴即，∴，
∵与越小，越大，
∴，∴，∴，∴
（2）由（1）知：，∴，
∴
3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【详解】（1）若选择条件①：因为，
所以，又，所以，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
若选择条件②：因为，所以当时，有，
两式相减，得，即（），
又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
若选择条件③：由，得，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
（2）由（1）知，，
则，
因为数列为递增数列，所以的最小值为，
又恒成立，则，解得，
故的最小值为.
4．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）已知公差不为零的等差数列满足是的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
①；
②.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【详解】（1）等差数列满足是的等比中项，
，即
由，可得
由，可得
.
（2）若选①：，则.
；
若选②：.
.
.
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，所以①，
所以时，②．
由，得，即．
因为各项均为正数，所以，即，
因为，所以，，解得，，，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以．
（2）由（1）得．
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
．
所以
角度4：错位相减法
1．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知数列和等差数列满足，且当时，.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，
由得：
由得：
所以：，
所以：
所以：当时，，
又因为不满足，
所以：.
（2），
当时，；
当时，，①
，②
①②得：
，
所以：，
又也满足，
综上：.
3．（2023·河北·校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
，
所以.
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
所以当时，，故；
当时，，
作差，得，
即，此式对也成立，
故数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，，
不妨令，且数列的前n项和，
则，
，
作差，得，
即．
则
，
即数列的前n项和为.
角度5：奇偶项讨论求和
1．（2023·浙江·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）若等差数列公差为，则，即，
由，则，
所以的通项公式.
（2）由题设，
当为偶数，则；
当为奇数，则；
所以且.
3．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
所以，
整理得，
对任意的，，则，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
故
（2）由（1）可知，，则，
所以，对任意的，，
当为偶数时，设，
则；
当为奇数时，设，则，
.
综上所述，.
4．（2023·全国·高三专题练习）记为正项数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）(1)当时，因为，
所以数列为等差数列，公差为1，首项为，所以，
为正项数列，则；
当时，，
亦适合上式，所以．
（2）由(1)可知，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上可知
角度6：插入新数列混合求和
1．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
因为，可得，
两式相减得到，即，所以，
又因为，当时，可得，
可得，适合上式，所以，
所以数列的通项公式.
（2）解：若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即为，整理得，
所以，
所以
因为，所以，所以.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列的前项和，，且.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由已知可得，当时，
有，
，
两式相减得：.
又因为，
所以，，满足上式.
所以，.
又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
又，
所以，所以.
又，
所以，当时，有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
所以，.
（2）设100项中，来自于数列中的有项.
若第100项来自于，则应有，
整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于，则应有，
整理可得，.
当时，有不满足，
，故，
所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项.
所以，
.
4．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，
因为，，成等差数列，则，即②，
因为，所以由②式可得，解得或（舍），
代入①式可得，
（2）由题可得，即，所以，
则，所以①，
则②，
故①－②得：
所以.
5．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．