新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第04讲 空间直线、平面的垂直(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10088" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc10088 \h 1
\l "_Tc24960" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc24960 \h 5
\l "_Tc9201" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9201 \h 10
\l "_Tc29282" 高频考点一：直线与直线垂直 PAGEREF _Tc29282 \h 10
\l "_Tc19955" 高频考点二：直线与平面垂直 PAGEREF _Tc19955 \h 14
\l "_Tc3591" 角度1：判断线面垂直 PAGEREF _Tc3591 \h 14
\l "_Tc7974" 角度2：证明线面垂直 PAGEREF _Tc7974 \h 16
\l "_Tc23205" 角度3：补全线面垂直的条件 PAGEREF _Tc23205 \h 18
\l "_Tc29380" 高频考点三：线面垂直的性质 PAGEREF _Tc29380 \h 27
\l "_Tc17667" 高频考点四：平面与平面垂直 PAGEREF _Tc17667 \h 31
\l "_Tc20258" 角度1：判断面面垂直 PAGEREF _Tc20258 \h 31
\l "_Tc31781" 角度2：证明面面垂直 PAGEREF _Tc31781 \h 34
\l "_Tc26924" 角度3：补全面面垂直的条件 PAGEREF _Tc26924 \h 36
\l "_Tc853" 高频考点五：面面垂直的性质 PAGEREF _Tc853 \h 45
\l "_Tc6351" 高频考点六：直线与平面所成角（传统法） PAGEREF _Tc6351 \h 48
\l "_Tc21872" 高频考点七：二面角（传统法） PAGEREF _Tc21872 \h 56
第一部分：知识点必背
知识点一：直线与平面垂直
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
2、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
3、直线和平面垂直的性质定理
3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
知识点二：直线与平面所成角
1、直线与平面所成角定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
2、直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点三：二面角
1、二面角定义
（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
2、二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
3、二面角的平面角的取值范围：
4、二面角平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法
知识点四：平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
第二部分：高考真题回归
1．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.

因为平面，平面，所以平面平面.
又因为平面平面，，平面，所以平面，且.
在中，因为，所以，所以，
在中，因为，所以，
所以.
故选：B
2．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，
显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
3．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.

4．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)求证：；
(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，

底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距离为1，，
在中，，
设，则，
为直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
（2），
，
过B作，交于D，则为中点，
由直线与距离为2，所以
，，，
在，，
延长，使，连接，
由知四边形为平行四边形，
，平面，又平面，
则在中，，，
在中，，，
,
又到平面距离也为1，
所以与平面所成角的正弦值为.
5．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.

（2）由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
（3）过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.

第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与直线垂直
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】如图，取的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为的中点，
∴，∴BE和EF所成角为，
即为异面直线BE与所成角，且.
在正三棱柱中，，.
在等边三角形ABC中，，
在Rt△BCF中，.
在△BEF中，，
∴，∴.
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若，分别为棱，的中点，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
练透核心考点
1．（2023春·高二课时练习）如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动.

(1)当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有.
【答案】(1)平面，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行．
∵在中，分别为、的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面
（2）证明：
∵⊥平面，平面，
∴，又，，平面，
平面.又平面，∴.
又，点是的中点，∴，
又,平面，
∴⊥平面.
∵平面，
∴.
2．（2023春·广东广州·高一广州市第七中学校考期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设是的中点，由于是的中点，
所以,
由于是的中点，四边形是矩形,
所以.
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）由于平面，
平面，所以,
因为,,平面，
所以平面,
因为平面,所以,
因为是的中点,所以,
因为,平面,
以平面,
又因为平面,所以.
高频考点二：直线与平面垂直
角度1：判断线面垂直
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；
对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；
对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；
对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；
故选：D
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，
当时，由于，则有，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（ ）

A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】A
【详解】依题意平面，平面，所以，
又是底面圆的直径，所以，
，平面，所以平面，故A正确；
对于B：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；
对于C：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；
对于D：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；
故选：A.

角度2：证明线面垂直
典型例题
例题1．（2023春·陕西延安·高一陕西延安中学校考期中）在四面体中，四边形是矩形，且.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，故,
由于平面,平面,
故平面,又平面,平面平面,
故,又平面,平面,
故平面.
（2）因为四边形是矩形，故，
由（1）知,故,
又，平面,
所以平面.
例题2．（2023春·高一课时练习）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)设，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在三棱柱中，，
因为平面，所以平面．
又平面，所以，①
因为，为中点，所以，②
由①②，，平面，所以平面，
又平面，所以，③
设，则在矩形中，，，
故，，，
所以，即，④
由③④，，平面，
所以平面．
（2）因为为中点，所以
．
角度3：补全线面垂直的条件
典型例题
例题1．（2023春·全国·高一专题练习）已知平面，则四边形满足______时，有．（试写出一个满足的条件）
【答案】四边形ABCD为菱形.（答案不唯一）
【详解】如图，
因为平面，平面，
所以，
当四边形为菱形时，，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以.
故答案为：四边形为菱形.（答案不唯一）
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形为矩形，平面，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)试确定当中与满足什么关系时，平面？并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)当时，MN⊥平面PCD
【详解】（1）取的中点，连接
∵分别为的中点，则∥且
又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且
则∥且，即为平行四边形，则∥
平面PAD，平面PAD
∴平面PAD
（2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD
∴⊥PD，且为的中点
∴
若且为的中点，则⊥PD
∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD
四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD
，则CD⊥平面PAD
平面PAD，则⊥CD
，则⊥平面PCD
∥，则MN⊥平面PCD
综上所述：当时，MN⊥平面PCD
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）连结，交于点，连结．
因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，
所以．因为平面，平面，所以平面．
（2）因为正方体的棱长为1，是的中点，
所以,所以边上的高为，所以.
因为，所以，解得：，即点到平面的距离为．
（3）在对角线上存在点，且，使得平面．
证明如下：因为四边形是正方形，所以．
因为平面，平面，所以．因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以．
因为平面，平面平面，所以平面．
由,得．所以当时，平面．
考点二练透核心考点
1．（多选）（2023春·高一课时练习）设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】BD
【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则或或l与相交，故C错误；
对于D，若，，则，
又因为，则，故D正确.
故选：BD.
2．（2023春·全国·高一期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
当，，时，必有，从而，故选项C正确；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项D错误；
故选：C.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误；
同理可知，错误；
若，可知与交于一点，且，所以，即D正确.
故选：D
4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）面面，，面面，面，
所以面，又的面积为6，
所以三棱锥的体积.
（2）由题设，即，又为锐角，
所以，
由，故，
所以，
由（1）知面，面，故，
，面，故平面.
5．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，
∴，且，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，且，平面，
∴平面．
（2）∵，，，
∴，
∴，，．
在中，，，
∴边上的高为．
∴．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据，得，解得，
所以点D到平面ABE的距离为．
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
【详解】（1）
取中点，连接，因为是的中点，则，又，
则，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；
（2）
存在点，使得平面，此时，证明如下：
连接，易得，又底面，底面，则，
则，，则，，又，
，由余弦定理得，，则，
，又，，平面，则平面，故存在点，使得平面，此时.
7．（2023春·全国·高一专题练习）若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，
所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接、.
因为，，，所以，平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又因为平面，，所以，平面平面，
所以，平面.
故当点是线段的中点时，平面，此时，.
高频考点三：线面垂直的性质
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：
(1)平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，设与的交点为，连接．
直三棱柱，，
四边形为正方形，
为中点，
是的中点，
．
平面，平面，
平面．
（2）在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以，
又四边形为正方形，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以.
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在四棱锥中，面，，，，，，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
所以或其补角为异面直线与所成角.
因为平面，平面，所以，
所以，即异面直线与所成角正切值为
（2）连接，如图所示：
因为，，所以，
因为，为中点，所以.
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面.
因为平面，所以.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.

【答案】证明见解析
【详解】证明：因为四边形为矩形，
所以，
又平面平面，平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以.
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．

，分别是和的中点，
，．
又四边形为正方形，
，从而．
平面，平面，
平面，
同理平面，又，
平面平面，
∵平面，
则平面；
（2）为正方形，
．
又平面平面，且平面平面，面，
平面，平面，则，
，，
，则，得．
又，平面，
平面；
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面AMB//平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．
因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．
又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．
（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN．
因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，
所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．
因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，
因为AC面AMC，所以BC⊥AC．
高频考点四：平面与平面垂直
角度1：判断面面垂直
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
【答案】B
【详解】因为，所以平面，
同理平面，平面，平面；
所以平面平面，平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，共5对.
故选：B．
例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面平面B．
C．平面平面D．平面
【答案】D
【详解】选项A . 由平面平面，平面平面,
又，且平面，所以平面
由平面，所以平面平面，故A正确.
选项B . 由上有平面，又平面，则，故B正确.
选项C . 由上可知，，且,
所以平面, 又平面,所以平面平面，故C正确.
选项D . 由上有平面，又平面，则
若平面，由平面,则,这与相矛盾，故D不正确.
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
【答案】C
【详解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，
则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；
在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，

因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，
于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；
过A作边上的高，连，由得，是边上的高，
则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；
因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，
平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.
故选：C
角度2：证明面面垂直
典型例题
例题1．（2023春·全国·高一专题练习）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）分别取和的中点，连接，
因为底面是边长为2的正方形，，
所以.
在梯形中，，
分别作垂直于，垂足分别为，则，
故由勾股定理得，
所以，
易知，故.
又，所以，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接.因为，所以四边形的面积，
所以.
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，且.
因为，所以，
即四棱锥的体积为.
例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，平面平面，，分别为棱，的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为F为AD的中点，所以，又，所以，
因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以，
因为，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
所以平面PAD，
又平面CEF，所以平面平面PAD．
（2）连接PF，因为，F为AD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
因为，所以，所以在中，，又，
所以，
梯形的面积为，
所以四棱锥的体积．
因为E为棱PD的中点，故三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积，
故所求几何体的体积.
角度3：补全面面垂直的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

【答案】
【详解】连接，

因为底面各边都相等，所以，
因为底面，底面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
所以当（或时，则PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有平面，
而平面，平面平面．
故答案为：（或等）．
例题2．（2023·高一课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．
(1)若为边的中点，求证：平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的大小；
(4)若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面平面？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)45°
(4)能，证明见解析
【详解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，
得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD，
∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC，
所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角
因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°；
（4）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB
∴FE∥平面PGB
在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE
BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB
∴DE∥平面PGB
EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，
因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，
又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）如图示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点．
(1)求证：面；
(2)求多面体的体积；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点，为中点
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，由正方形知为的中点，
为的中点，，平面，平面，平面；
（2）解：∵为正三角形，为中点，故，又平面平面，平面平面于，故平面，
故多面体的体积；
（3）存在点，当为中点时，平面平面，
四边形是正方形，为的中点，．
由（1）知，平面，平面，，
又，平面，平面，平面平面．
考点四练透核心考点
1．（2023·北京东城·高三专题练习）设l是直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【详解】若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；
，，则存在，，则，故，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则l与相交、平行或，故D错误.
故选：B.
2．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（ ）
A．CE∥平面PABB．CE⊥平面PAD
C．平面PBC⊥平面PABD．平面PBD⊥平面PAC
【答案】D
【详解】对于A，∵四边形ABCD是菱形，则CD∥AB，∵CD平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CD∥平面PAB，若CE∥平面PAB，
∵CE∩CD＝C，则平面PCD∥平面PAB，
事实上平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误；
对于B，过点C在平面ABCD内作CF⊥AD，垂足为点F，
∵PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，
∴CF⊥PA，∵CF⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CF⊥平面PAD，∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条，
∴CE与平面PAD不垂直，故B错误；
对于C，过点C在平面ABCD内作CM⊥AB，垂足为点M，
∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，则CM⊥PA，
∵CM⊥AB，PA∩AB＝A，则CM⊥平面PAB，
若平面PBC⊥平面PAB，过点C在平面PBC内作CN⊥PB，垂足为点N，
∵平面PBC⊥平面PAB，平面PAB∩平面PAB＝PB，CN⊂平面PBC，
∴CN⊥平面PAB，∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，∴CM，CN重合，
∴平面ABCD∩平面PBC＝BC，∴CM，CN，CB重合，BC⊥AB，
∵四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误；
对于D，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC，故D正确．
故选：D．
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.若，求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【详解】由底面是菱形，且对角线与相交于点，可得为中点，
连接，因为，则，
因为底面是菱形，可得，
又因为，且平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.

4．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
则，故，
由，，，同理可得且，
故为二面角的平面角，
又，则，故，故平面平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．
（2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由（1）得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，则平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
【答案】②（或③）
【详解】底面,,
底面各边都相等,,
,平面,
,
当(或时,即有平面,
而平面,平面平面.
故答案为:②(或③).
6．（2022春·高一单元测试）已知中，，，平面，，、分别是、
上的动点，且.
（1）求证：不论为何值，总有平面平面；
（2）为何值时，平面平面？
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 9分
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴ 11分
由AB2=AE·AC 得
故当时，平面BEF⊥平面ACD. 12分
7．（2022·高一课时练习）如图，四边形为正方形，若平面，，，．
(1)在线段上是否存在点，使平面平面，请说明理由；
(2)求多面体的体积．
【答案】(1)存在，理由见解析；
(2).
【详解】（1）存在这样的点为线段靠近点的三等分点，使平面平面，
证明如下：在线段上取一点，使得，因为，所以，
所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
又因为，所以四边形是矩形，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以面，因为平面，所以，
因为，所以面，
因为面，所以平面平面.
（2）在中，，，
可求得，，
在中，，
过点作于点，因为平面平面，
平面平面，，面，
所以面，所以即为四棱锥的高，
所以，
所以，
，
所以多面体的体积为．
高频考点五：面面垂直的性质
典型例题
例题1．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取中点，连接，
因为是正三角形，
所以，
因为平面平面，平面，平面平面
所以平面，又因为平面，
所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.

（2）因为，平面，平面，
所以平面，
所以点与点到平面的距离相等，
所以三棱锥和三棱锥的体积相等，
所以，
连接交线段与点，
因为四边形为菱形，，，
所以，，
所以，
由（1）平面，，
所以.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】设与交于，连接．
因为为正方形的对角线，所以为中点，且，
因为是的中点，所以，
因为，所以
因为平面底面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以
因为平面，，
所以平面 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，求证：.

【答案】证明见解析
【详解】证明：因为，可得
设，可得，，所以，
因为，可得，
所以，所以，
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
2．（2023·全国·高一专题练习）如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，如图乙，使得平面平面，求证：平面.

【答案】证明见解析
【详解】证明：∵在长方形中，，，M为DC的中点.
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵且，，平面，
∴平面.
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.

(1)求证：平面
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，或0.
【详解】（1）因为侧面为菱形，，则是等边三角形，取中点O，连接，于是有，
又平面⊥平面，且平面，平面∩平面，于是⊥平面，
又平面，即有，
又，且，因此平面，而平面，则，
由四边形为菱形，得，又平面，，
所以平面.
高频考点六：直线与平面所成角（传统法）
典型例题
例题1．（2023春·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

【答案】
【详解】因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以直线与平面所成的角为，
故答案为：
例题2．（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）∵，，，
由勾股定理得：，
中，，
∵，∴，
又因为底面，底面，所以，
又因为且平面，∴平面，
（2）作，垂足为H，连结，
因为平面， 平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，
中，，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
例题3．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，已知是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥.

(1)若，证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：翻折前，因为、分别是、的中点，则，
所以，，，
所以，为等边三角形，所以，，
且，，
翻折后，取的中点，连接、，如下图所示：

由题意可知，是边长为的等边三角形，
因为为的中点，所以，，且，
因为，，，
由余弦定理可得，
因为，所以，，则，
因为，、平面，则平面，
又因为平面，因此，平面平面.
（2）解：取的中点，连接、，如下图所示：

因为，，，
由余弦定理可得，
所以，，
因为，且为的中点，所以，，且，
因为，，则,
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，则，
因为，则为等腰直角三角形，
故，，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，为锐角，且，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，则平面，
所以，直线与平面所成角为，
且，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
练透核心考点
1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.

(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，
在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.

2．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为矩形，所以为的中点，
所以为的中点.

（2）因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
又，所以，则，
由平面，平面，所以，
所以在中，
所以.
3．（2023春·江苏·高一专题练习）如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

(1)求证：平面平面BEF；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1），F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
又，EF，平面BEF，
平面平面BEF．
（2）在平面ABC内，过点G作，垂足为H，连接．
正三棱柱，
平面ABC．又平面ABC，．
又，BC，平面，平面．
即为与平面所成的角．
正三棱柱的所有棱长为2，G为AB中点，
，，
又，，．
又，，
．
又，
，
，
故与平面所成角的正弦值为．

高频考点七：二面角（传统法）
典型例题
例题1．（2023春·高一课时练习）如图，将正方形沿对角线折叠后，平面平面，则二面角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图，

因为平面平面DAC，平面平面，平面，
则平面DAC，而平面DAC，于是，
又，平面BOE，则平面BOE，
而平面BOE，即有，
因此为二面角的平面角，显然，，
有，即为直角三角形，有，则，
所以.
故选：C
例题2．（2023春·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
(1)求二面角的余弦值；
(2)求四棱锥外接球的体积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在等腰梯形中，作于，
则，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
（2）解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点，连接，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.

例题3．（2023春·广西·高一校联考阶段练习）四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，
(1)如图所示，若点、分别在线段和上，且满足，为线段的中点，求证：面；

(2)如图所示，，是线段上的两个动点，当二面角的平面角大小等于45°时，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由于为正方形，且，所以为矩形，
连接与交于点，则为中点，
又因为为的中点，则有为三角形的中位线，则,
又面，面，所以有面.

（2）因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，平面，平面，则有平面，
作与交于点，作与交于点，
连接，，由平面，得，，
则是二面角的平面角，所以，
又边上的高，
由于，
而，
当且仅当时取等号，
所以有，
所以,
因为，，由平行线分线段成比例的性质可知，
所以.

例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，
因为M是EB的中点，所以MN是的中位线，
所以且，
又，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE.

（2）如图，取的中点F，连接EF，CF，且CF交BD于点O，连接OE，
由，，，得四边形CDFB是正方形，所以，
因为，所以，
因为平面平面ABE，平面平面，平面ABE，
所以平面，又平面ABCD，
所以，.
又因为，EF，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
在中，易知，，
则，
，
所以，
所以二面角的正弦值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交，于点，，又，，求二面角的大小.

【答案】60°
【详解】∵且是的中点，
∴.
又已知，，平面，
∴平面，又平面，
∴.
又平面，平面，
∴，而，平面，
∴平面.
∵平面，
∴，
∴是所求二面角的平面角.
∵底面，平面，
∴.
设，则，.
∵，∴，
∴，∴.
又已知，∴.
即所求的二面角等于.
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，求二面角的正切值．

【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，，则，

又，为的中点，故，
故是二面角的平面角．
因为平面，平面，所以，
设正方体的棱长为，则，在中，，
所以二面角的正切值为.
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，连接，如图，
则为的中点，
由于是的中点，故，
∵平面，平面，
所以平面；
（2）连接，，
因为，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
由底面是菱形，得，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
∴二面角的余弦值为.