新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 圆的方程(精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 圆的方程(精讲）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲圆的方程精讲原卷版doc、新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲圆的方程精讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc20814" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc20814 \h 2
\l "_Tc23288" 知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离 PAGEREF _Tc23288 \h 3
\l "_Tc25897" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc25897 \h 3
\l "_Tc27766" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc27766 \h 5
\l "_Tc21151" 高频考点一：圆的标准方程 PAGEREF _Tc21151 \h 5
\l "_Tc8930" 高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 PAGEREF _Tc8930 \h 9
\l "_Tc1297" 高频考点三：圆的一般方程 PAGEREF _Tc1297 \h 11
\l "_Tc5130" 高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化 PAGEREF _Tc5130 \h 12
\l "_Tc31552" 高频考点五：点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc31552 \h 13
\l "_Tc11055" 高频考点六：与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc11055 \h 15
\l "_Tc17630" 高频考点七：与圆有关的几何意义求最值 PAGEREF _Tc17630 \h 18
\l "_Tc11465" 高频考点八：利用圆的对称性求最值 PAGEREF _Tc11465 \h 21
\l "_Tc466" 高频考点九：建立函数关系求与圆有关的最值问题 PAGEREF _Tc466 \h 25
\l "_Tc6473" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc6473 \h 28
第一部分：知识点必背
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
知识点二：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
3．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：圆的标准方程
典型例题
例题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，
所以圆心为，直径为，
所以圆的标准方程是.
故选：C.
例题2．（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是 .
【答案】
【详解】由题，可设圆心坐标为，
因为所求圆的圆心在轴，半径为1，且过点，
所以，，解得，
所以，圆心坐标为，半径为1，
所以，所求圆的标准方程为
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：
(1)经过点和，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点；
(3)经过，两点，且圆心在直线上；
【答案】(1)，图形见解析；
(2)，图形见解析；
(3)，图形见解析；
【详解】（1）圆心在x轴上，设圆的方程为：，
将点代入圆的方程，
得，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
（2）圆心为点，设圆的方程为：，
由，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
因为圆过交点，所以，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
（3）设圆的方程为：，
圆心坐标为，在直线上，所以①，
又圆过点，
所以②，③，
联立①②③，得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
练透核心考点
1．（2023春·广东茂名·高二统考期末）圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】直线的斜率为，线段的中点为，
线段的垂直平分线的方程为：，即，
联立，解得，即圆心坐标为，
半径，
所以所求圆的标准方程为：.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．
【答案】
【详解】因为圆C与x轴的交点分别为，，所以圆心在直线上，
又因为圆C的圆心在直线上，所以圆心坐标为
所以半径为
所以圆C的方程为
3．（2023春·江西宜春·高二上高中学校考期末）已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（ ）
A．若，则是圆
B．若，，则是圆
C．若，，则是直线
D．若，，则是直线
【答案】BC
【详解】对于A，当时，，
若，则C是圆；
若，则C是点；
若，则C不存在.故A错误.
对于B，当时，，且，
则C是圆，故B正确.
对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.
对于D，当，时，，
若，则表示一元二次方程，
若，则表示抛物线，故D错误.
故选：BC
例题2．（2023·全国·高三专题练习）“方程表示的图形是圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：由方程表示的图形是圆，
可得，
即；
由，
得，
显然，
所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
例题3．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为方程表示的曲线是一个圆，
所以有，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023·上海·高二专题练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】方程表示圆，，即，解得：，
实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：C.
3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由方程表示圆，则满足，
整理得，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
高频考点三：圆的一般方程
典型例题
例题1．（2023秋·高二课时练习）求经过三点，，的圆的方程．
【答案】
【详解】设圆的方程为，
依题意可得，解得，
所以圆的方程为.
例题2．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为 ．
【答案】
【详解】设圆的方程为，
则，
∴圆的方程为：.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·天津·统考二模）经过点的圆的方程为 .
【答案】
【详解】设圆的一般方程为，代入点可得：
，解得
故圆的一般方程为：
故答案为：
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是 .
【答案】
【详解】设所求圆的一般方程为：，，
由圆经过三点，
，解得：，
则所求圆的一般方程为：，
所以的外接圆的标准方程是：.
故答案为：.
高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化
典型例题
例题1．（2023春·河南驻马店·高二统考期末）直线平分圆（），则（ ）
A．1B．-1C．3D．-3
【答案】A
【详解】因为直线平分圆，
化为，
所以直线经过该圆的圆心，
则，即.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）圆的圆心为坐标为 ，半径为 .
【答案】
【详解】将化为标准方程，
得 ，
所以圆心坐标为 ， 半径为 .
故答案为：；
练透核心考点
1．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考阶段练习）圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】圆即，
所以圆心坐标为.
故选：B
2．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将配方得，
所以圆心坐标为，
故选：D．
高频考点五：点与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
例题2．（多选）（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】，A选项正确.
，B选项错误，
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
练透核心考点
1．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定
【答案】C
【详解】因为，所以点在圆外．
故选：C
2．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
【答案】A
【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
所以点坐标满足圆的方程，
所以点在圆上，
故选:A
高频考点六：与圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知BC是圆的动弦，且 ，则的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设BC的中点 P的坐标是 ，
∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ，
，即 ，
化简得 ，
∴BC的中点的轨迹方程是 ，
故选： C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为 ；
【答案】
【详解】由题意可得双曲线的两个顶点，，
因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且，
设直线与交点为，，且，，
所以，①，
，且，，
所以，②，
因为点在双曲线上，则，且，
将代入①式化简可得③，
将代入②式化简可得④，
③式与④式相乘可得，可得，
因此，轨迹的方程为.
故答案为：
例题3．（2023·高二课时练习）等腰三角形一腰的两个顶点，则顶点的轨迹方程为 ．
【答案】（除去和两点）或（除去和两点）
【详解】设，由三角形一腰的两个顶点为，
则或，又，
当时，即，所以，
又因为三点不共线，所以除去和两点；
当时，即，所以，
同理除去和两点；
因此顶点C的轨迹方程为（除去和两点）或（除去和两点）
故答案为：（除去和两点）或（除去和两点）
例题4．（2023秋·天津·高二统考期末）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)已知点，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆的方程为，由题意得
，解得
所以圆的方程为.
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，
于是
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即
所以，
整理得
所以，线段中点的轨迹方程.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为圆的一条弦，且以为直径的圆始终经过原点，则中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得：,连接,则，
则，
由圆可知,
设，则，
化简得：，
即点的轨迹方程为，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为 ，
【答案】
【详解】设，，则，，所以，，
又点A在圆C上，所以，
即的方程为．
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设，因为动点到点和的距离之比为，
所以，，即：，
所以，即，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
高频考点七：与圆有关的几何意义求最值
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最大值及最小值．
【答案】最大值为，最小值为0
【详解】解：表示过，的直线的斜率，
由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线的斜率为，则直线方程为，即，
则，解得或，
所以函数的最大值为，最小值为0．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【答案】(1)最大值为－2＋，最小值为－2－
(2)最大值为－1，最小值为－－1
(3)最大值为＋1，最小值为－1
【详解】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
（3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
练透核心考点
1．（2023·高三课时练习）已知实数满足.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得：，，
即的最大值为，最小值为.
（2）设，，，
则，
，，，，
即的最大值为，最小值为.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆：上运动．试求：
(1)的最值；
(2)的最值；
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为．
【详解】（1）解：设圆的圆心为，半径，点在圆上，
所以表示到定点的距离的平方，因为，所以，即，所以，即的最大值为，最小值为；
（2）解：点在圆上，则表示圆上的点与点的连线的斜率，根据题意画出图形，当与（或重合时，直线与圆相切，
设直线解析式为，即，
圆心到直线的距离，即，解得，
，即，
的最大值为，最小值为．
高频考点八：利用圆的对称性求最值
典型例题
例题1．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
例题2．（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，
则 ，解得：，
故圆B的圆心为，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为
故选：D.
例题3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知分别是轴和圆上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【详解】由，得，故圆的圆心坐标为，半径为2.
如图，作点关于轴对称的点，当四点共线时，取得最小值，且最小值为.
故选：C
练透核心考点
1．（2021秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）已知点为直线上的一点，M，N分别为圆与圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．7
【答案】C
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得，由对称性可得，
圆，圆心，半径为2，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立，
由于，，∴，
即的最大值为．
故选：C．
2．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期末）已知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，
∴若与关于x轴对称，则，即，
当三点不共线时，
当三点共线时，
所以
同理(当且仅当时取得等号)
所以
当三点 共线时，
当三点不共线时，
所以
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ．
【答案】2
【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.
，当且仅当，即时等号成立.
∴，即，所以时，的最小值为2.
故答案为：2
高频考点九：建立函数关系求与圆有关的最值问题
典型例题
例题1．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高一下学期期末学业水平监测数学试题）如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为，
由，可得，，
设，，
由，可得，，，
所以，整理得：，
则，其中，
所以当时，有最大值．
故选：A．

例题2．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】依题意，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，如图，

则，
因为点是以为直径的圆上任意一点，故可设，
则，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣味．折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图．其平面图如下右图的扇形AOB，其中，，点在弧上，则的最小值是（ ）

A．B．C．1D．3
【答案】A
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，
故，，
则，
由，得，
所以当，即时，有最小值.
故选：A．

2．（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考期末）如图扇形所在圆的圆心角大小为，是弧上任意一点，若，那么的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设扇形的半径为，则、，
设点，
因为，
所以，，所以，
所以，
其中为锐角，且，
又由，解得，
因为，则，
当时，取得最大值.
当时，的值为，
当时，的值为
所以的最小值为.
故选：C.
第四部分：数学文化题
1．（多选）（2023·重庆万州·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：（，且）的点P的轨迹是圆”，后来人们称这个圆为阿波罗尼奥斯圆．在平面直角坐标系xOy中，，，若，点P的轨迹为圆C，则下列结论中错误的有（ ）
A．圆C的方程是
B．面积的最大值为4
C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为
D．若点，则的最小值为5
【答案】BCD
【详解】对于选项A,设,因为满足,所以,
化简得,所以,故A正确;
对于选项B,由选项A可知,点的轨迹方程为,
所以点的轨迹是以为圆心,4为半径的圆,
又,且点A,在圆的直径所在的直线上,故当点到圆的直径距离最大的时候,的面积最大,
因为圆上的点到直径的最大距离为半径,即的高的最大值为4,
所以面积的最大值为,故B错误；
对于选项C,若直线的斜率不存在，则，
可得圆心到直线的距离为8，不合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为,
若圆上恰有三个点到直线的距离为2,则圆心到直线的距离为2,
所以,解得；
综上所述：若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为，故C错误；
对于选项D,由,可得,
，
当且仅当A,,在一直线线上且在A, 之间时取等号,
故的最小值为,故D错误.
故选：BCD.

2．（2023·全国·高一专题练习）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：

①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为；
②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为；
④阴影部分的内外边界曲线长为.
其中正确的有 .
【答案】①②④
【详解】对于①，由于，令时，整理得，
解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A，
则点A的坐标为，点，
白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为,故①正确；
对于②，由于，整理得：，
所以，所以到坐标轴的距离为或，
因为，
所以，，
所以到坐标轴的距离小于等于3，故②正确；
对于③，由于，令时，整理得，
解得，
因为表示以为圆心，半径为的圆，
则，
且，则在x轴上以及x轴上方，
故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，
根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，
设，则，即所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，
阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，
设，可得，所对的圆心角为，
同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为，

故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，
所以它的面积是.
轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为,
第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，
且等于，
所以阴影部分的面积为，故③错误；
对于④，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，
轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，
所以阴影部分的内外边界曲线长为，故④正确.
故答案为：①②④.
4．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点P的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．将“阿氏圆”以AB所在直线为轴旋转一周即可得“阿氏球”．即空间一动点到空间内两定点的距离之比为定值的点的轨迹为球，称之为阿波罗尼斯球．设M，N是球C（C为球心）球面上两定点，球半径为3且．（1）空间中一动点P满足，可知点P的轨迹为阿氏球，则该球的表面积为 ；（2）若球C表面上一动点Q满足，则点Q的轨迹长度为 ．
【答案】
【详解】
（1）以MCN所在的平面建立直角坐标系，MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，
由球半径为3且，可得，则，，
设，，则
可得，故点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当P绕MN为轴旋转一周时，|PM|，|PN|不变，
故空间中P的轨迹为以T为球心，半径为的球，所以其表面积为；
（2）由（1）可知点Q的轨迹即为球C与（1）问中阿氏球的交线，两球的交线为圆，
又该阿氏球球心为T，利用C，T在（1）中的坐标，，
则球心距为，三角形QTC为直角三角形，对应圆半径，
周长即为轨迹长．
故答案为: ;