新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 圆的方程(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（ ）．
A．B．或C．D．
【答案】C
【详解】若方程表示的曲线为圆，
则，
即，
解得：，
故选:C．
2．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
3．（2023·北京·高三专题练习）已知圆与轴相切，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为.
因为圆与轴相切，所以.
故选：C
4．（2023秋·四川南充·高二统考期末）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为圆心为且过原点，所以，
所以圆的方程是.
故选：A.
5．（2023春·河南周口·高二校考开学考试）已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为点不在圆的外部，
所以且，
化简得：
解得：.
故选：B.
7．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【详解】设，∵，
∴，表示以为圆心，2为半径的圆，
∴，表示圆上的点到点的距离，
∴的最小值为.
故选：A.
8．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知曲线C：，直线l：.若对于点，存在曲线C上的点P和直线l上的点Q使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】曲线C：，是以原点为圆心，3为半径且在y轴及左侧的半圆，点的横坐标，

对于点，存在C上的点P和l上的点Q使得，则A是PQ的中点，而Q的横坐标，
所以.
故选：A
二、多选题
9．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知点，且点在直线上，则（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于，由的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，而该圆心到直线的距离，故错误；
对于，设，则满足的动点的方程为，化简得，则圆心到直线的距离，故正确；
对于，因为关于的对称点为，
所以有，解得，即，
所以，故正确；对于（当且仅当三点共线时，等号成立），故正确.
故选：BCD
10．（2023·全国·高三专题练习）经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】选项A：点，，在圆上，点不在该圆上，故A正确；
选项B：点，，在圆上，点不在该圆上，故B正确；
选项C：点，，，都不在圆上，故C错误；
选项D：点，，在圆上，点不在该圆上，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若圆（）被直线平分，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，
所以，
当且仅当即时，取等号
故答案为：
12．（2023春·上海静安·高二校考期中）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为 ．
【答案】4
【详解】以点B为原点，射线BA为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

则，设，由，得，
化简整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
所以该圆的半径为4.
故答案为：4
四、解答题
13．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知，．
(1)求线段的垂直平分线所在直线的方程；
(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以的中点为，斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
即所在的直线方程为，化简得.
（2）联立解得，，即圆心为，
所以圆的半径，
所以所求圆的标准方程为.
14．（2023春·河北邯郸·高二校考开学考试）（1）圆C的圆心在x轴上，且经过两点，求圆C的方程；
（2）圆C经过三点，求圆C的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）的中点为，
因为，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
当时，，则圆心为，
所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，则
，解得，
所以圆的方程为.
B能力提升
1．（2023·全国·高一专题练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．

2．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【答案】C
【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点，
则，
而圆：的圆心到直线的距离为，
故直线与该圆的位置关系为相离，
故选：C
3．（2023·江西赣州·统考一模）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值可以为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.
设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.
因为为，所以，即为等边三角形，
所以，即或，解得或.
故选：C.
4．（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．3B．
C．2D．
【答案】A
【详解】设，
由已知可得，
所以位于原点为圆心，半径为的圆上.
又，
可以看做点到圆上点的距离.
因为点在圆外，且，
所以，点到圆上点的距离的最大值为，
所以，的最大值为3.
故选：A．
5．（2023·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，设点，则，
∴，化简得点的轨迹方程为，
∴点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆心到直线：的距离，
∴点到直线最大距离为.
故选：A.
C综合素养
1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【答案】(1)
(2)3.11米．
【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，
设该圆拱所在圆的方程为，
由于圆心在轴上，所以，那么方程即为.
因为都在圆上，
所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，
于是有方程组，解得
所以，这个圆的方程是．
（2）解：由题知点的横坐标为.
所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，
所以，
因为的纵坐标，故应取正值，
所以，（米）．
所以，支柱的高度约为3.11米.
2．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)15
【详解】（1）依题可设圆心C的坐标为，
因为，所以，
解得，
则圆心C的坐标为，圆C的半径，
故圆C的标准方程为．
（2）因为，所以．
设点关于直线对称的点为，
则，
解得，即．
因为，所以，
当且仅当P，C，三点共线时，等号成立．
又，所以的最大值为15．