新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第02讲 两条直线的位置关系(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1325" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc1325 \h 1
\l "_Tc2441" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2441 \h 6
\l "_Tc24386" 高频考点一：判断两直线的位置关系 PAGEREF _Tc24386 \h 6
\l "_Tc32736" 高频考点二：由两直线的位置关系求参数 PAGEREF _Tc32736 \h 7
\l "_Tc6682" 高频考点三：由两直线的位置关系求直线方程 PAGEREF _Tc6682 \h 8
\l "_Tc29410" 高频考点四：与距离有关的问题 PAGEREF _Tc29410 \h 10
\l "_Tc24342" 高频考点五：点关于直线对称 PAGEREF _Tc24342 \h 11
\l "_Tc12293" 高频考点六：直线关于直线对称 PAGEREF _Tc12293 \h 12
\l "_Tc20745" 高频考点七：平行、垂直直线系方程 PAGEREF _Tc20745 \h 13
\l "_Tc30010" 高频考点八：过两直线交点的直线系方程 PAGEREF _Tc30010 \h 14
第一部分：知识点必背
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线：的距离.
3、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断两直线的位置关系
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不对
例题2．（2023·吉林长春·高二校考期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．重合
练透核心考点
1．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
2．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．相交D．重合
高频考点二：由两直线的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线：，：，若，则（ ）
A．-1或0或3B．-1或3C．0或3D．-1或0
例题2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，求满足下列条件的的值．
(1)；
(2)．
例题3．（2023·高二单元测试）已知直线与直线．当为何值时，
(1)与相交？
(2)与平行？
(3)与重合？
(4)与垂直．
例题4．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知直线：与直线：.
(1)若与垂直，求实数的值；
(2)若与平行，求实数的值.
练透核心考点
1．（2023春·上海虹口·高二统考期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为 .
2．（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为 ．
3．（2023·高三课时练习）已知两直线，，当m为何值时，与有以下位置关系：
(1)相交；
(2)平行.
4．（2023·高二课时练习）已知两直线.当为何值时，和
（1）相交；（2）平行；（3）重合；（4）垂直？
高频考点三：由两直线的位置关系求直线方程
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二假期作业）求经过直线：和：的交点，且平行于直线：的直线的方程．
例题2．（2023春·全国·高二开学考试）已知直线：，直线经过两条直线：和：的交点.
(1)若，求的直线方程；
(2)若若，求的直线方程.
例题3．（2023·高二课时练习）求过直线和的交点，且满足下列条件的直线方程．
(1)过点；
(2)和直线平行；
(3)和直线垂直．
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是 ．
2．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为 .
3．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知三角形的三个顶点，，.
(1)求AC边所在直线的一般方程；
(2)求BC边上的高所在直线方程.
高频考点四：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（2023秋·高二课时练习）在直线上求一点,使它到点的距离为5，并求直线的方程.
例题2．（2023·江苏·高二假期作业）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为 ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，记，则的最小值为 ．
例题4．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，且∥．
(1)求的值；
(2)求两平行线与之间的距离．
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知直线，直线，点，为和的交点.求分别满足下列条件要求的过点的直线方程.
(1)平行于直线.
(2)点到所求直线的距离最大.
2．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）已知直线：，：．
(1)求直线的定点P，并求出直线的方程，使得定点到直线的距离为；
(2)过点引直线分别交，轴正半轴于、两点，求使得面积最小时，直线的方程．
3．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
4．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为 ．
高频考点五：点关于直线对称
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）点关于直线的对称点的坐标为 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·海南·海南华侨中学校考一模）点关于直线的对称点是（ ）
A．B．C．D．
高频考点六：直线关于直线对称
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·江西·高一校联考期中）直线关于直线的对称直线方程为 ．
例题4．（2023·上海·高二专题练习）已知点，直线，直线.
(1)求点关于直线的对称点的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高三课时练习）直线，则直线l关于直线对称的直线方程是 .
3．（2023秋·高二课时练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程．

4．（2023·全国·高一专题练习）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
高频考点七：平行、垂直直线系方程
典型例题
例题1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·上海青浦·统考二模）过点与直线垂直的直线方程为 .
例题3．（2023·全国·高三专题练习）求经过直线：和：的交点，且垂直于直线：的直线的方程为 ．
练透核心考点
1．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）过点，且垂直于的直线的一般式方程为 .
2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）过点且与直线平行的直线方程为 .
高频考点八：过两直线交点的直线系方程
典型例题
例题1．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第70中校考期中）求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线的方程.
练透核心考点
1．（2022秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0