江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题

这是一份江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．记为等差数列的前n项和，若则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则可导函数在处的导数为（ ）
A．B．C．1D．2
4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（ ）
A．B．C．-D．
5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A．3B．2C．D．
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的前10项和为
10．下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．过点作圆的切线，则的方程为
C．圆上存在两个点到直线的距离为2
D．若圆与圆有唯一公切线，则
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是D．的周长存在最大值
12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使B．当时，取得最小值
C．没有最小值D．
三、填空题
13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 ．
14．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为 .
15．数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．
16．已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．
(1)求圆的标准方程；
(2)当时，求直线的方程．
18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
(1)求的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，对任意的，，，求 的取值范围．
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.
22．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．A
5．C
6．D
7．D
8．C
9．BCD
10．AC
11．AC
12．ABD
13．4
14．0或
15．
16．
17．(1)；
(2)或．
【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接，则，
因为，所以，
又点A到直线的距离为，
所以，解得，所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．
18．(1)，
(2)元千克
【详解】（1）由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
19．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）记，
，
.
20．(1)；
(2).
【详解】（1）由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以为奇数时，，
当为偶数时，，
即；
（2）因为，，
当时，，
令，则
当时，
，
所以，当时，，
所以的最小值为，
所以.
21．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，得，即.
设，则，则时，时，.
故在时取最大值.
又时，时，，从而，得；
（2）由得，，
从而，
又，
,
即，
设，易知，
故当时，，
所以当时，，即，
所以.
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.