3.福建省福州市八县（市、区）一中2023-2024学年高一上学期11月期中联考数学试题

这是一份3.福建省福州市八县（市、区）一中2023-2024学年高一上学期11月期中联考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．以下选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，下列推断正确的个数是（ ）
①函数图像关于轴对称；②函数与的值域相同；
③在上有最大值；④的图像恒在直线的下方．
A．1B．2C．3D．4
8．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论中错误的有（ ）
A．集合的真子集有7个
B．已知命题，则
C．函数与函数表示同一个函数
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．已知为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．若则的最大值是2．
C．若则的最小值是8．D．若则的最大值是8．
11．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且在单调递增，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．当
B．
C．若在上恒成立，则的最小值为6
D．若关于的方程有三个不同的实数根则．
三、填空题
13．不等式的解集为 ．
14．已知函数，若，则实数的值为 ．
15．若函数是奇函数，且，则 ．
16．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．设，已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
18．已知函数．
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上为增函数；
(3)若，求实数的取值范围．
19．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：．
(1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）
(2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围．
20．福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．
21．已知函数
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围．
22．设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．
(1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；
(2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．
①证明：当时，．
②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有．
参考答案
1．A2．C3．A4．A5．D6．B7．D8．A
9．BCD10．BC11．AC12．AB
13．14．或315．16．
17．(1)或；
(2).
【详解】（1）当时，，且，则，
所以或；
（2）因为，且，所以需满足，解得，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），
（2）证明：任取，且,
在上为增函数.
（3）若，则
由（2）知，在上为增函数
，，
则实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析，三元形式见解析
(2)
【详解】（1）要证即证，
，
，即当且仅当时等号成立.
三元形式：.
（2），
由（1），
当且仅当取“”，又，，
所以三角形周长的取值范围.
20．(1)
(2)75辆/千米，2812辆/小时．
【详解】（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为．
（2）依题并由（1）可得，
当时，为增函数，，
当时，，
即当时，在区间上取得最大值约为2812，
即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．
21．(1)1
(2)
【详解】（1）依题意，的解集是或，则，
且是方程的两个根，
所以，解得．
（2）时，在有解，
即在有解，
法一：因为的开口向上，对称轴
①即时，函数取得最小值.
②即时，当取得最小值，此时，
解得或.又.
③当即，当时取得最小值，此时不成立，
即无解.
综上，．
法二：在有解，
当时不成立，
当时，即在有解，，
令，，
当且仅当即取“”，，.
22．(1)
(2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析
【详解】（1）依题可知，
当时．则，
，
为奇函数，，
.
（2）①证明：当时，
，
.
②当时且单调递增，
在上单调递增，
，
即，即，
同理可得，
将上述两个不等式相加可得．
原不等式成立.