2023~2024学年河北省石家庄市七县高二(上)期末联考数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河北省石家庄市七县高二(上)期末联考数学试卷(解析版)，共15页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与垂直，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线与垂直，则，解得，
所以实数.
故选：C
2. 设函数在处存在导数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
3. 已知在正项等比数列中，，，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】在正项等比数列中，，解得，而，
则公比，
所以.
故选：C
4. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（ ）

A. B. 2C. 3D. 6
【答案】D
【解析】由题意得，代入得，
解得，
即，因此虚轴长为，
故选：D．
5. 如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，
.
故选：A.
6. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 40
【答案】C
【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，
显然，而，且，解得，
则，
，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.
故选：C.
7. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，设，因为轴，所以，
又因为，所以，
故y轴垂直平分线段，即为等边三角形，
且，可得，
将其代入，可得，又，
整理可得，即，
解得，可得（负值舍去），
由椭圆的离心率，可得.
故选：B．
8. 在如图所示的直四棱柱中,底面是正方形,是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，
则，设．
设平面的一个法向量为，则，
设，则，则，
所以点到平面的距离为，
又，所以当时，
点到平面距离取得最小值为．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列选项正确的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案】BCD
【解析】A选项，，A错误；
B选项，，则，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，令，D正确．
故选：BCD．
10. 下列四个命题中为假命题的是（ ）
A. 已知是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则
B. 已知向量，则与的夹角为钝角
C. 已知是空间中的三个单位向量，若两两共面，则共面
D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，满足条件，但直线l不平行于平面，故A假；
对于B，因为，所以，所以与的夹角不是钝角，故B假；对于C，两两共面，但是不一定共面，可能两两垂直，故C假；
对于D，若不能构成空间向量的一组基底，则共面，
即存在，使得，
即，由于是空间向量的一个基底，
则，，无解，所以也是空间向量的一个基底，故D真．
故选：ABC．
11. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，
设，其中，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
故选：BD．
12. 已知数列中，，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】由题意得：，，，，…，
数列是以为周期的周期数列；
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知：，
，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在等差数列中，，，则__________．
【答案】12
【解析】根据等差数列性质可得，解得.
故答案为：12.
14. 曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】由于，所以有，因此切点为，
由于,所以曲线在点处的切线的斜率,
故所求切线方程为:,即,故答案为：．
15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】如图，设关于直线的对称点为，
则,解得．
圆的圆心为，半径，所以将军所经过的路程为
．
故答案为:．
16. 已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为___________．
【答案】3
【解析】由题意可知．如图，设，
可得直线的斜率分别为．
因为点P在双曲线上，则，因此．
设点，可得直线的斜率，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，可得，
所以直线与关于x轴对称．
又因为椭圆也关于x轴对称，且M，N过椭圆右焦点F，
则轴，
则，所以．
故答案为：3．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 正项数列满足，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
解：（1）整理得，即，
令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列；
（2）由（1）可得，即，
根据分组求和可得
18. 已知，四棱锥，底面是正方形，M为棱的中点，平面平面．
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）∵平面平面,平面平面
平面,
平面．
（2）由题意和（1）知，两两垂直，以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
所以．
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，
令，得，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
19. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
解：（1）等差数列中，，
解得，
又，
解得，
因此等差数列的公差，
则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
所以
.
20. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点M在线段上，，且A，E，M，F四点共面．

（1）求t的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）平面平面，
，又，
∴以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，
．
．
因为A，E，M，F四点共面，则存在使，
故，解得．
（2）设平面的一个法向量为，
则，取，得，故．
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
21. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．
解：（1）拋物线的焦点，则直线的方程为：，
由消去y并整理得，，显然，
设，
则，因此，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
点，
由消去x得，，当时，，
由，得，
显然，因此，满足，则直线：，过定点，
所以直线过定点.
22. 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．

（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点，且与x轴不重合直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值．
解：（1）圆的圆心为，半径为4．
因为D是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交半径于E点，
则，于得，
因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以E点的轨迹方程为．
（2）依题意可设直线l的方程为，
联立消去x并整理得，
，

．
又，
当且仅当时等号成立，．
设的内切圆半径为r，则，
则，
的内切圆面积的最大值为．