湖北省荆门市2023-2024学年高二(上)1月期末学业水平检测数学试卷(解析版)

这是一份湖北省荆门市2023-2024学年高二(上)1月期末学业水平检测数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 椭圆的长轴长为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】椭圆的标准方程为
则长轴长为
故选：B
2. 对于正整数，若数列为等差数列，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知，，，，，
反之，取数列为常数列，对任意，，，，都有．
故选：．
3. 在下列关于概率的命题中，正确的是（ ）
A. 若事件、满足，则、为对立事件
B. 若三个事件、、两两独立，则
C. 若事件、满足，，，则、相互独立
D. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
【答案】C
【解析】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足，
但是、不是对立事件．故A错误；
对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点，
且，，，
可求得，，，
所以，，，
即、、两两独立，但，
所以，故B错误；
对于C选项，因为事件、满足，，，
所以，所以、相互独立，故C正确；
对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误．
故选：C.
4. F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（ ）
A. B. C. 5D. 12
【答案】B
【解析】点在抛物线上，则，解之得，则
又抛物线的焦点F，准线
则直线MF的方程为，
则N
则
故选：B
5. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A 42B. 43C. 35D. 49
【答案】A
【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，
由，可得，两边取对数得，
所以，所以，故需要的天数约为.
故选：A
6. 在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为G是的重心，
则
，
由，得，
所以.
故选：C.
7. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
8. 已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于．已知，，则的长度为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，
因为，所以或，
由题可知，
，
故或，
或．
故选：D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，平面DEF，平面DEF，
直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，，平面DEF，平面DEF，
直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，
直线AB与平面DEF相交，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法不正确的有（ ）
A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为
B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或
【答案】BC
【解析】对于A，若两条直线与互相平行，
其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为，
得，解得或，
舍去，此时两条直线与重合，
故实数a的值为，选项A正确；
对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误；
对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误；
对于D，将直线化为，
所以直线恒过定点，且直线的斜率为，
其中，，
结合图象，若直线与线段相交，可得或，
选项D正确．
故选：BC.

11. 设数列前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当且仅当时，取得最大值
C. 时，n的最大值为33
D. ，，，……，，……中，最大值
【答案】ACD
【解析】对于A项，．当时，；
当时，
时，，满足．
综上所述，，A正确；
对于B项，要使取得最大值，
则应有，即，解得．
又，所以当或时，取得最大值．故B不正确；
对于C项，由A知，，
解，可得．
所以，时，n的最大值为33．故C正确．
对于D项，由前面可知当，，
且当时，取得最大值，是最小正项，所以D正确．故选：ACD
12. 已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 内切圆圆心的横坐标为定值
C. 若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意可知：，，，双曲线方程为，
对于选项A：因为，且，
所以，故A正确；
对于选项B：设内切圆的圆心为，内切圆与边分别切于点，
可知：，
因为，
设点的横坐标为，
由可知：点的横坐标为，
则，即，
所以内切圆圆心的横坐标为定值4，故B正确；
对于选项C：设，，
若Q为中点，则，
可得，，
因为A，B在双曲线上，则，
两式相减得，
整理得，即，
所以直线l的方程为，即，
联立方程，消去y得，
计算，故C错误，
对于选项D：因为，则，
可得，
当且仅当P在线段上时，等号成立，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知是等比数列，且，，则______.
【答案】4
【解析】设等比数列的公比为，由题意，所以，所以，
所以.
故答案为：4
14. 在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．
【答案】
【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：.
15. 一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为__________．
【答案】
【解析】关于x轴的对称点，
光线从射出与x轴相交于点，
则反射光线所在的直线经过点，Q，
则反射光线所在直线的方程为，化简得，得，
所以则光线从P到R所走的路程为．
故答案为：.
16. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为______.
【答案】
【解析】由已知得，，整理得，
看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等；
由，
（1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.
（2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，
注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d，
①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，
此时，，符合；
②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为，
此时，，符合；
综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为.故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”.
（1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率；
（2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率.
解：（1）设“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，
则，
则，
故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为.
（2）甲两轮猜对1个灯谜的概率为，
甲两轮猜对2个灯谜的概率为，
乙两轮猜对1个灯谜的概率为，
乙两轮猜对2个灯谜的概率为，
所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为.
18. 已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数n.
解：（1），，
可得，
又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
设数列的前n项和为，
则
，
若，即，因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数n的值为2023.
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：（1）根据题意，圆心C在直线上，也在直线上，
联立方程，解得，即，
所以圆．
当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为，即，
则，所以切线方程．
当切线斜率不存在时，直线也与圆相切；
综上所述：所求切线直线方程为或．
（2）设点，，
因为，则，
即点M的轨迹方程为，
又点M在圆C上，所以，
若存在这样的点M，则与有公共点，
即两圆的圆心距d满足，即，
解得或，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
20. 在三棱锥中，M是线段的中点，，，，．

（1）证明：P在平面内的射影O为的垂心；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）因为，可知，
同理可得．
且平面，平面，，所以平面．
由平面，可得，
又因为是的中点，且，则．
由，可知，，
则，所以，
过P作平面于O，平面，则，，

且，平面，所以平面，
由平面，可知，
由，，，所以平面，
由平面，可知，
且，平面，所以平面，
由平面，可知，
所以P在平面内的射影O为的垂心．
（2）由（1）知，，，
故以P为原点，为x轴，为z轴，为y轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
由（1）可知：平面，则平面的一个法向量为．
因为，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
设所求二面角的平面角为，由图象可知，为锐角，
可得，
所以二面角的平面角的余弦值为．
21. 已知数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意知，当时，，因为，所以，①
因为，所以，所以，②
两式相减得，所以.
由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式；
（2）由（1）知，，所以，
所以.
假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，
则，互不相等，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列，所以，所以.
化简得，所以，又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
22. 已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
解：（1）依题意，所以，
又最大值为，所以，所以，解得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）设点，由题意，，，
而，，所以直线，
所以点，
所以，
又直线，所以点，所以，
所以
，
所以是定值.