安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期第二次教学检测数学试卷（Word版附解析）

合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求集合N，由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，进而运算求解即可.【详解】，所以阴影部分．故选：A．2. 命题“，使”的否定是（ ）A. ，使 B. 不存在，使C. ，使 D. ，使【答案】D【解析】【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D．3. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的定义域、特殊位置可排除法得出结果.【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D；又，所以可排除B，故选:A．4. “曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据恒成立，分离参数，然后构造函数，利用导数求解单调性，进而可得最值求解充要条件，即可根据真子集关系求解充分不必要条件.【详解】由曲线恒在直线下方，可得，恒成立，记，当单调递减，当单调递增，故，故，所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，结合选项可知，故是“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件，故选：C．5. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）A. 0.2 B. 0.18 C. 0.15 D. 0.14【答案】C【解析】【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，．故选：C．6. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将等式中用替换得到边的齐次式，再利用正弦定理化角为边，利用余弦定理求角可得，结合正弦定理求得外接圆半径，进而求出面积.【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，所以，由，所以，则外接圆的半径为，所以外接圆的面积为．故选：C.7. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对称轴，得到解得，再根据在上没有最小值，得到，计算即可.【详解】由的图象关于直线对称可得，，而，故，.若，则，故由可知在上有最小值.所以，.故选：A．8. 已知是ΔABC内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据可知O为ΔABC重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为是ΔABC内一点，且所以O为ΔABC的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即当M与C重合时，最大，此时 所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 已知平面向量，，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算公式计算即可.【详解】由题意可知，即，所以，即A，C，D正确，B错误.故选：ACD10. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A B. C. 的最小值为32D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得恒成立，分析可得时，，当时，，从而得到且，即可判断A、B；利用基本不等式判断C；利用基本不等式及二次函数的性质判断D.【详解】对于A、B：因为，即恒成立，又因为，，所以当时，，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，必有，单调递减，且零点，所以，所以，所以A正确，B正确；对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C错误；对于D，，令，则，当且仅当时，等号成立．则原式，由二次函数的性质可得的最小值为，此时，，所以D正确，故选：ABD．11. 已知函数的定义域为R，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的一个对称中心为2,1B. C. 函数为周期函数，且一个周期为4D. 【答案】ABD【解析】【分析】先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A，根据函数为偶函数结合赋值法判断B,特殊值法判断C，赋值法得出函数值判断D.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，对于B，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B正确，对于C，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，对于D，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据两角和的正切公式求得，利用三角恒等变换将化为，即可求得答案.【详解】由得： ，即得 ，故，故答案为：13. 已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．故答案为：14. 定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】讨论与的大小关系，在每种情况中分别用基本不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．【详解】按和分类：记，当时，，，当且仅当，，时，等号成立；当时，，，当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用基本不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和基本不等式成立的条件.四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 的内角的对边分别为，，，已知．（1）若，，求的面积；（2）若角为钝角，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得面积；（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合角B的范围运算求解.【小问1详解】因为，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因为，则有，因，，则，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故面积．【小问2详解】由正弦定理，可得，且，代入化简得：．因为钝角，故由，可得，则，，即，故的取值范围是16. 已知函数．（1）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，进而结合题意求解即可；（2）先对函数求导，然后分，，三种情况讨论函数的单调性，进而求解最小值.【小问1详解】当时，，则，令f′x>0，得；令f′x0，在上为增函数，则；②当，即时，在时，，为减函数，在时，f′x≥0，为增函数，则；③当，即时，f′x