内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗保康第二中学2024-2025学年上学期第三次月考模拟八年级数学试卷

这是一份内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗保康第二中学2024-2025学年上学期第三次月考模拟八年级数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．坐位体前屈B．仰卧起坐
C．引体向上D．立定跳远
2．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
3．（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，11cmB．3cm，4cm，7cm
C．2cm，2cm，6cmD．5cm，6cm，10cm
4．（3分）如图，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠CDB的度数是（ ）
A．70°B．130°C．150°D．160°
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（m4）3＝m7B．（2a3）2＝2a6
C．x6÷x3＝x2D．a•a2＝a3
6．（3分）如图，点A，E，C在同一直线上，△ABC≌△AED，AB＝3，AD＝5，则CE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
7．（3分）若（x+a）（x﹣3）的积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．1
8．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．五边形C．四边形D．六边形
9．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A．6B．12C．15D．18
10.如图，等边△ABC和等边△CDE中，A、C、E共线，且AC＝3CE，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个．
①∠AFB＝60°；
②连接FC，则CF平分∠AFE；
③AF＝3EF；
④BF＝AF﹣CF．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：x2+x＝ ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝7，则△ACD的面积是 ．
13.（3分）已知，则＝ ．
14.（3分）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝120°，则∠ABC＝ ．
15.（3分）若多项式x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB＝ ．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）5x（x+2y﹣8）；；
（2）（a2b﹣2ab2）÷b﹣（a﹣b）2．
18．（5分）先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）]÷（﹣4b），其中a＝1，b＝．
19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（3，4），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案）A1 ；B1 ；C1 ；
（3）在x轴上找出一点P，使PB+PC的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
20．（6分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠2＝55°，求∠3的度数．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
22．（8分）如图甲所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为S1，图乙中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）试利用这个公式计算：．
23．（10分）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
【问题研究】
（1）①如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ ．
②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明．
【问题延伸】
（2）如图2，作△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线相交于点Q，则∠Q与∠BPC之间的数量关系为 ．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC相交于点E，在△BQE中，当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数．
2024-2025学年八年级（上）第三次月考数学模拟卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．坐位体前屈B．仰卧起坐
C．引体向上D．立定跳远
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项C的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝x（x+2）+3B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．
【解答】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、不是因式分解，不符合题意；
C、等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键．
3．（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，11cmB．3cm，4cm，7cm
C．2cm，2cm，6cmD．5cm，6cm，10cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、3+5＜11，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＝7，不能构成三角形，故B不符合题意；
C、2+2＜6，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、5+6＞10，能构成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
4．（3分）如图，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠CDB的度数是（ ）
A．70°B．130°C．150°D．160°
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可得到答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝110°，
∴∠CDB＝∠A+∠C＝150°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．（m4）3＝m7B．（2a3）2＝2a6
C．x6÷x3＝x2D．a•a2＝a3
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法和乘法进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
【解答】解：A．（m4）3＝m12，故本选项不符合题意；
B．（2a3）2＝4a6，故本选项不符合题意；
C．x6÷x3＝x3，故本选项不符合题意；
D．a•a2＝a3，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法和乘法等知识点，能正确根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法和乘法法则进行计算是解此题的关键．
6．（3分）如图，点A，E，C在同一直线上，△ABC≌△AED，AB＝3，AD＝5，则CE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】由全等三角形的性质推出AC＝AD＝5，AE＝AB＝3，即可求出CE＝AC﹣AE＝2．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴AC＝AD＝5，AE＝AB＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
7．（3分）若（x+a）（x﹣3）的积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．1
【分析】根据本题考查整式的乘法，先根据整式乘法展开，结合不含x的一次项得到系数为0直接求解即可得到答案；
【解答】解：由题意可得，
（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∵不含 x的一次项，
∴a﹣3＝0，
解得：a＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是关键．
8．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．五边形C．四边形D．六边形
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A．6B．12C．15D．18
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝3，然后利用△ABD的周长为9和等线段代换得到AB+BC＝9，从而可计算出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝3，
∵△ABD的周长为9，
∴AB+BD+AD＝9，
∴AB+BD+DC＝9，
即AB+BC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10.如图，等边△ABC和等边△CDE中，A、C、E共线，且AC＝3CE，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个．
①∠AFB＝60°；
②连接FC，则CF平分∠AFE；
③AF＝3EF；
④BF＝AF﹣CF．
A．4B．3C．2D．1
【分析】首先利用SAS证明△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，再利用三角形外角的性质即可判断①正确；过点C作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，根据全等三角形对应边上的高相等可知CH＝CG，即可判断②正确；由BC＝3CD，得S△BCF＝3S△DCF，结合②可知③正确；在线段FD上截取FN＝FC，连接CN，利用AAS证明△CBF≌△CAN，得BF＝AN，可判断④正确．
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∵B、C、D共线，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝60°+60°＝120°，
∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠CAD+∠ADC＝∠ACB＝60°，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AFB是△FBD的外角，
∴∠AFB＝∠FBD+∠FDB＝∠CAD+∠ADC＝60°，
故①正确；
过点C作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，
∵△ACD≌△BCE，
∴CG＝CH，
∴CF平分∠BFD，
故②正确；
过点C作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，
∵△ACF，△ECF同高不同底，
∴△ACF，△ECF的面积之比就是AC：CE＝3：1，
∵AF•CG：EF•CH＝3：1，CG＝CH，
∴AF：EF＝3：1，
∴AF＝3EF，
故③正确；
由①知，∠AFB＝60°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFB＝180°﹣60°＝120°，
由②知CF平分∠BFD，
∴∠BFC＝∠DFC＝，
在线段FD上截取FN＝FC，连接CN，
∵∠CFN＝60°，FN＝FC，
∴△FCN是等边三角形，
∴∠FNC＝60°，
由①知∠CBF＝∠CAN，
在△CBF与△CAN中，
，
∴△CBF≌△CAN（AAS），
∴BF＝AN，
∵AF＝AN+FN＝BF+FC，
∴BF＝AF﹣FC，
故④正确，
∴正确的有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：x2+x＝ x（x+1） ．
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD＝2，AC＝7，则△ACD的面积是 7 ．
【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．证明DH＝DB＝2，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H．
由作图可知CD平分∠BCA，
∵DB⊥CB，DH⊥CA，
∴DH＝DB＝2，
∴△ACD的面积＝•AC•DH＝×7×2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
13．（3分）已知，则＝ 14 ．
【分析】先把已知条件式两边同时平方得到，则．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟知公式是解题的关键．
14.（3分）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝120°，则∠ABC＝ 60° ．
【分析】先由三角形的外角性质得∠C＝30°，因为AD⊥BC，D为BC的中点，所以OD是BC的垂直平分线，则∠OBC＝∠C＝30°，因为BO是∠ABC的角平分线，则BO是∠ABC的角平分线，即可作答．
【解答】解：∠AOC＝120°，AD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，∠C＝120°﹣90°＝30°，
∵AD⊥BC，D为BC的中点，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝30°，
∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠OBC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，学会判断各角之间的关系是解题的关键．
15.（3分）若多项式x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值是 ﹣5或7 ．
【分析】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2•x•3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2•x•3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故答案为：﹣5或7．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB＝ 22.5°或45°或67.5°或90° ．
【分析】根据题意，画出图形，利用分类讨论的数学思想即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
当等腰△ABP以A为顶点时，
若点P在点A上方，
因为AP1＝AB，∠CAB＝45°，
所以∠AP1B＝22.5°．
若点P在点A下方，
因为AP2＝AB，∠CAB＝45°，
所以∠．
当等腰△ABP以B为顶点时，
因为BA＝BP3，∠CAB＝45°，
所以∠AP3B＝∠CAB＝45°．
当等腰△ABP以P为顶点时，
则点P4在AB的垂直平分线上，
所以点P4与点C重合，
故∠AP4B＝90°．
综上所述，∠APB的度数为22.5°或45°或67.5°或90°．
故答案为：22.5°或45°或67.5°或90°．
【点评】本题考查直角三角形的性质及等腰三角形的判定，对等腰△ABP的顶点进行正确的分类讨论是解题的关键．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）5x（x+2y﹣8）；
（2）（a2b﹣2ab2）÷b﹣（a﹣b）2．
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算即可；
（2）原式利用多项式除单项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）5x（x+2y﹣8）＝5x2+10xy﹣40x；
（2）原式＝a2﹣2ab﹣（a2﹣2ab+b2）
＝a2﹣2ab﹣a2+2ab﹣b2
＝﹣b2．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，整式的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：[（a﹣b）2﹣2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）]÷（﹣4b），其中a＝1，b＝．
【分析】根据整式的加减运算法则以及整式的乘除法则进行化简，然后将a与b代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（a2﹣2ab+b2﹣2ab+2b2﹣a2+b2）÷（﹣4b）
＝（4b2﹣4ab）÷（﹣4b）
＝﹣b+a，
当a＝1，b＝﹣时，
原式＝1+＝．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及整式的乘除法则，本题属于基础题型．
19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（3，4），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标（直接写出答案）A1 （﹣3，4） ；B1 （﹣1，1） ；C1 （﹣4，2） ；
（3）在x轴上找出一点P，使PB+PC的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（﹣3，4），B1（﹣1，1），C1（﹣4，2）．
故答案为：（﹣3，4）；（﹣1，1）；（﹣4，2）．
（3）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，连接BP，
此时PB+PC＝PB'+PC＝B'C，为最小值，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠2＝55°，求∠3的度数．
【分析】（1）根据等式的性质得∠ABE＝∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立；
（2）由△ABE≌△CBD可得∠AEB＝∠D，由∠2＝55°可求得∠BED+∠D＝125°，根据平角定义即可求得．
【解答】（1）证明：（1）∵∠1＝∠2．
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠D，
∵∠2＝55°，
∴∠BED+∠D＝125°，
∴∠BED+∠AEB＝125°，
∴∠3＝55°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，再由∠B＝36°得∠BAD＝54°，由此可得∠CAD的度数；
（2）根等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再根据EF∥AB得∠F＝∠BAD，由此得∠F＝∠CAD，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，
∴∠CAD＝54°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∴AE＝EF．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键．
22．（8分）如图甲所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为S1，图乙中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 （用式子表达）．
（2）试利用这个公式计算：．
【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；根据矩形的面积公式，可得答案；根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），
由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（2）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）……（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××……××××
＝×
＝．
【点评】本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．
23．（10分）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
【问题研究】
（1）①如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 120° ．
②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明．
【问题延伸】
（2）如图2，作△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线相交于点Q，则∠Q与∠BPC之间的数量关系为 ∠Q＝180°﹣∠BPC ．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC相交于点E，在△BQE中，当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数．
【分析】（1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出来，再利用∠A表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形内角和定理进行计算；
（3）根据已知条件求出∠EBQ的度数，然后由（2）求出的∠Q，利用三角形内角和求出∠E，再分2种情况讨论，求出∠A的度数．
【解答】解：（1）①由题意可知：，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝120°，
故答案为：120°；
②猜想，证明如下：
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A
∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP



；
（2）由题意可知：，，
∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∴，，
∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴∠Q＝90°﹣（∠BPC﹣90°）＝180°﹣∠BPC；
（3）由题意可知：，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠QBE，
∴∠E+∠Q＝90°，
∴，
由（2）知，
当∠Q＝3∠E，
∴，
∴2∠A＝90°，
∴∠A＝45°；
当∠E＝3∠Q，
∴，
解得：∠A＝135°，
综上可知：∠A的度数为45°或135°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
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