湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题-A4

这是一份湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题-A4，共8页。试卷主要包含了2−8×75×7493等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 客观题
1．已知集合A={x|2x−1|0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．△ABF2的周长为8
C．椭圆C的离心率为32D．△BF1F2的面积为335
11．下列结论正确的是（ ）
A．sin143°15'>sin144°30'B．cs510°>cs145°
C．20.9>(14)−0.35D．lg30.3>lg120.7
12．已知直线l：kx−y−k+1=0与圆C：(x−2)2+y2=8相交，则直线l过的定点是 ；直线l被圆C截得的最短弦长等于 .
13．复数 z 满足 （1−i）z=2i，则|z|=
14．已知双曲线C： x2m−y2=1 （m>0）的一条渐近线为 3x +my=0，则C的焦距为 .
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
（1）求csC的值；
（2）若c=22，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
16．某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）该市航空公司预计2024年航班正点率为84%，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；
（3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为12，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
b=i=1xiyi−nxyi=1(xi−x)2，a=y−bx
17．在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB=2,PB=22,AD=2BC=2,AB⊥BC,AD//BC,M为棱AP的中点.
（1）求证：BM//平面PCD；
（2）求直线PC与平面BCM所成角的正弦值.
18．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，离心率e=32，且点A2,−1在椭圆上.
（1）求该椭圆的方程；
（2）直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且∠PAQ=π2，求△PAQ的面积.
19．已知函数f(x)=ax2+bx+2−ln2x.
（1）当b=0时，若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若f(x)有两个极值点x1,x2，求证：x1x2>e2；
（3）若f(x)在定义域上单调递增，求a2+b的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C
12．【答案】(1，1)；26
13．【答案】2
14．【答案】4
15．【答案】（1）解：由3csC(acsB+bcsA)=c，利用正弦定理得3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
即3csCsin(A+B)=sinC，即3csCsinC=sinC，则csC=13；
（2）解：由于csC=13，则sinC=1−cs2C=223，
因为△ABC的面积为2，所以12ab⋅sinC=2，即ab=3，
由余弦定理得a2+b2−2ab⋅csC=8，即a2+b2=10，
故(a+b)2=16，a+b=4，则△ABC的周长为a+b+c=4+22.
16．【答案】（1）解：x=6008=75，y=5928=74，
则b=i=1xiyi−nxyi=1(xi−x)2=43837.2−8×75×7493.8=−6，
所以a=y−bx=74+6×75=524，
所以y=−6x+524；
（2）解：当x=84时，y=20，
所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次；
（3）解：X可取0，1，2，3，4，
P(x=0)=C40(12)4=116，P(x=1)=C41⋅12×(12)3=14，
P(x=2)=C42⋅(12)2×(12)2=38，P(x=3)=C43⋅(12)3×12=14，
P(x=4)=C44(12)4=116，
所以分布列为
所以E(X)=0×116+1×14+2×38+3×18+4×116=2.
17．【答案】（1）证明：取PD的中点N，连接MN,CN，则MN//AD且MN=12AD，
又BC//AD且BC=12AD，所以MN//BC且MN=BC，
故四边形BCNM为平行四边形，所以BM//CN，
又BM⊄平面PCD，CN⊂平面PCD，
所以BM//平面PCD.
（2）解：由AB=PA=2,PB=22，得AB2+PA2=PB2，所以PA⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.
由AB=2,BC=1,AB⊥BC，得AC=AB2+BC2=5，
所以PC=AC2+PA2=3，CM=AM2+AC2=6,BM=AM2+AB2=5，
得CM2=BM2+BC2，则BC⊥BM，所以S△MBC=12BM⋅BC=52.
又VP−MBC=VP−ABC−VM−ABC=13S△ABC(PA−MA)=13⋅12⋅2⋅1⋅(2−1)=13，
设P到平面MBC的距离为ℎ，直线PC与平面MBC的所成角为θ，
则VP−MBC=13ℎS△MBC=56ℎ，所以13=56ℎ，解得ℎ=255，
所以sinθ=ℎPC=2553=2515，
即直线PC与平面MBC的所成角的正弦值为2515.
18．【答案】（1）解：由题意得1−b2a2=324a2+1b2=1 解得a=22b=2，
则椭圆C：x28+y22=1；
（2）解：设直线AP的倾斜角为α，由∠PAQ=π2，2α+∠PAQ=π，
得α=π4，kAP=1，kAQ=−1，
即AP：y=x−3，AQ：y=−x+1，
联立y=x−3x28+y22=1，解得x=145或2（舍），故P145,−15，
联立y=−x+1x28+y22=1，解得x=−25或2（舍），故Q−25,75，又A2,−1，
AP=145−22+−15+12=425，AQ=−25−22+(75+1)2=1225，
故S△PAQ=12APAQ=12×425×1225=4825.
19．【答案】（1）解：a=ln2x−2x2=g(x)，则g'(x)=−2(lnx+1)(lnx−2)x3
∴g(x)在(0,1e)上单调递减，(1e,e2)上单调递增，(e2,+∞)上单调递减
由图可知∴a∈(−e2,0]∪{2e4}时有两个零点
（2）解：(法一)f'(x)=b−2lnxx 设ℎ(x)=2lnxx，则ℎ'(x)=2(1−lnx)x2
∴ℎ(x)在(0,e)上单调递增，(e,+∞)上单调递减，ℎ(e)=2e
∴0ℎ(e2x2)
只要证r(x2)=ℎ(x2)−ℎ(e2x2)在x2∈(e,+∞)上恒正即可
而r'(x2)=ℎ'(x2)+e2x22ℎ'(e2x2)=2(lnx2−1)(1e2−1x22)
=2(lnx2−1)(x2+e)(x2−e)e2x22>0
∴r(x2)在(e,+∞)上递增， ∴r(x2)>r(e)=0 ∴x1x2>e2成立；
(法二)f(x)=bx+2−ln2x，则f'(x)=b−2lnxx
∴由题意可得：b=2lnxx在x∈(0,+∞)有两个不等的实根x1,x2
即x1lnx1=x2lnx2=2b
∴2b=x1+x2lnx1+lnx2=x1−x2lnx1−lnx2
(先证：对均不等式x1−x2lnx1−lnx2e2
（3）解：(法一)f'(x)=2ax+b−2lnxx≥0恒成立；
∴b≥2lnxx−2ax=r(x)恒成立
r'(x)=2(1−lnxx2−a)
当且仅当a≥0时，r(x)有最大值（这时即为极大值)
设r(x)的极大值点为x0，则1−lnx0x02−a=0
∴b≥r(x)max=2lnx0x0−2ax0
∴a2+b≥a2+2lnx0x0−2ax0=(lnx0−1)2+(4lnx0−2)x03x04=φ(x0)
而φ'(x0)=2(3−2lnx0)(x03+lnx0−1)x05
∴φ(x0)在(0,1)上减，(1,e32)上增，(e32,+∞)上减
∴a2+b≥φ(x0)min=φ(1)=−1
这时x0=1,a=1,b=−2
(法二)f'(x)=2ax+b−2lnxx≥0恒成立；
它表示以(a,b)为动点的直线及其上方的点；
z=a2+b表示以(a,b)为动点的抛物线，两者有公共点；
2ax+b−2lnxx=0z=a2+b
消去b得a2−2xa+2lnxx−z=0
Δ=4x2−4(2lnxx−z)≥0恒成立；
∴z≥2lnxx−x2=u(x) ∴u'(x)=2(1−lnx−x3)x2
∴u(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减
∴z=a2+b≥u(x)max=u(1)=−1
题号
一
二
三
四
总分
评分
阅卷人
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
得分
阅卷人
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
得分
阅卷人
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
得分
阅卷人
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
得分
i=18xi
i=18yi
i=18xiyi
i=18(xi−x)2
600
592
43837.2
93.8
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116