广东省清远市连州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

这是一份广东省清远市连州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷，共11页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，将一元二次方程配方后可变形为，关于x的一元二次方程的根的情况等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列方程：，，，（其中a、b、c为常数，且）是一元二次方程的有（ ）个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.轴对称图形和中心对称图形是我们生活中常见的几何图形，下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）.
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
3.在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（ ）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.下列是一元二次方程的解的是（ ）.
A.B.C.D.
5.将一元二次方程配方后可变形为（ ）.
A.B.
C.D.
6.关于x的一元二次方程的根的情况（ ）.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
7.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ）.
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
8.如题8图，在菱形中，对角线与相交于点O，E是的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）.
题8图
A. 9B. 12C. 18D. 24
9.如题9图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（ ）
题9图
A.B.C.D.
10.如题10图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
题10图
A.B.C. 4D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.一元二次方程二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______.
12.是关于x一元二次方程的一个根，则k的值为______.
13.如题13图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是______.
题13图
14.如题14图，菱形的两条对角线，相交于点O，，，则菱形的面积为______.
题14图
15.如题15图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为______.
题15图
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16.请用适当的方法解方程：.
17.如题17图，是矩形的对角线：
题17图
（1）求作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O（保留作图痕迹，不要求写出作法）
（2）分别连接、，求证四边形是菱形.
18.如题18图，在平行四边形中，平分，平分，，，证明四边形是矩形.
题18图
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19.根据以下素材，探索完成任务.
材料1：打印机碳粉盒和碳粉是常用的消耗品，需要定时更换，某公司统一购买打印机碳粉盒和碳粉.
材料2：该公司后勤部准备补进打印机碳粉盒和碳粉共400件.批发市场上碳粉盒的单价为80元，碳粉单价为30元.商家为了促销且保证有一定的利润，当碳粉盒购买数量超过80件时，每多购买1件，所有碳粉盒的单价下降1元，但单价不低于50元.
问题解决
任务1：若补进碳粉盒90件，求公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花______元（直接写出结果）
任务2：设补进碳粉盒x件，若，则补进的碳粉盒单价为______元，补进碳粉的总价为______元（用含有x的代数式表示，直接写出结果）；
任务3：在任务2的条件下，若该公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花了15000元，求补进碳粉多少件？
20.有四张反面完全相同的纸片A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸片洗匀，正面朝下随机放在桌面上.
（1）从四张纸片中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______；
（2）小黄和小李约定做一个游戏，其规则为；先由小黄随机摸出一张，不放回，再由小李从剩下的纸片中随机摸出一张，若摸出的两张纸片正面图形即是轴对称图形又是中心对称图形，则小李胜；否则小黄胜.这个游戏对双方公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由（纸片用A，B，C，D表示）.
21.综合与实践
【实践操作】
步骤1：准备一张矩形纸片；
步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A落在对角线上的点M处；
步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C落在对角线上的点N处.
【实践探索】
（1）用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，且，求菱形的面积.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14，共27分.
22.【材料阅读】
十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理.韦达定理：有一元二次方程形如（a，b，c是常数，且）的两根分别为，则有，.
【问题解决】
（1）若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根；求的值
（2）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求k的值.
（3）已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值.
23.问题背景：
如题23—1图，在正方形中，点E、F分别在边、上，，
题23—1图 题23—2图 题23—3图
（1）延长到点P使，连接，求证：；
（2）迁移应用：如题23—2图，在正方形中，、交于点G、H，过点A作交于M，交于I，连接，若，，，求的长；
（3）联系拓展：如题23—3图，在矩形中，点E、F分别在边、上，，分别取，的中点M，T，连接并延长交于N，连接，若，直接写出与的数量关系.
连州市2024-2025学年度第一学期九年级数学
期中核心素养展示活动参考答案
一.选择题：BACAD BBDBC
二.填空题：
11. 2，，1；12. 2； 13. 14. 24； 15..
三.解答题
16.解：
…………1分
…………2分
…………3分
或…………5分
，…………7分
17.解（1）答图如图所示…………1分（没作图或作图错误，不给分）
作图…………3分（没标字母扣1分）
（2）证明
是的垂直平分线
，
，…………4分
又∵四边形是矩形
…………5分
…………6分
∴四边形是菱形…………7分
18.证明
，
∴四边形是平行四边形…………1分
又∵四边形是平行四边形
…………2分
又∵平分，平分
，…………4分
…………5分
.…………6分
∴四边形是矩形.…………7分
19.解
任务1：15600元；…………2
任务2：；…………4
任务3：依题意得：…………6
解得：，…………8
，…………9
答：补进碳粉300件.
20.解：（1）…………2
（2）游戏不公平…………3
依题意列表如下
…………6
共有12中等可能性结果，摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即，…………7
（摸出两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）…………8
∴游戏不公平
21.解：（1）证明
∵四边形是矩形
，…………1
由折叠性质可得：
，
…………3
又
∴四边形是平行四边形
（2）∵四边形是矩形
∵四边形是菱形
，…………5
由折叠性质可知，
…………6
又
设，则
由勾股定理得：
解得：…………7
…………9
22.解：
（1），n是关于x的一元二次方程的两个实数根
，…………2
…………4
（2），是方程的两个实数根
…………5
解得：…………6
由根与系数的关系可知：，
又，
，
整理得：，…………7
解得：（不合题意，舍去），，…………8
∴k的值为1.…………9
（3）、是方程的两个根
，，…………11
…………12
…………13
23.
题23—1图 题23—2图 题23—3图
解（1）证明：
∵正方形
，…………1
又
…………2
，，
…………3
…………4
又
…………5
…………6
（2）
°
，
…………8
…………9
设，由（1）知
…………10
在中，
在中，根据勾股定理得，；…………12
（3）…………14
证明：，T是，的中点
，
∴四边形是矩形
设
∴矩形是正方形
由（1）知，
设
在中，
.
小黄
小李
A
B
C
D
A
B
C
D