2023~2024学年山东省淄博市张店区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省淄博市张店区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
2. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
B． 此项变量是的反比例函数，故本选项不符合题意．
C． 可变形为是反比例函数，故本选项符合题意．
D． 是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（ ）

A. I=B. I=-C. I=D. I=
【答案】A
【解析】∵当R＝20，I＝11时，
∴电压＝20×11＝220，
∴．
故选A．
4. 如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，，，
∴，
用科学计算器计算，按键顺序是 ．
故选：B．
5. 已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内，
∴，，
∴．
故选：C．
6. 函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当a>0，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，三象限，
当a>0，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第一，三，四象限，
所以B不符合题意；
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第二，三，四象限，
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，四象限，
所以C不符合题意，D不符合题意．
故选：A．
7. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A. 图象必经过点B. y的值随x值的增大而减小
C. 图象在第一、三象限内D. 若，则
【答案】B
【解析】A.当时，，图象经过点，结论正确，故不符合题意；
B.各自象限内，y的值随x值的增大而减小，结论错误，故符合题意；
C.，图象第一、三象限内，结论正确，故不符合题意；
D.时，y的值随x值的增大而减小，，则，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
8. 如图,在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC，若△AOB的面积为12，则k的值（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】连结OC，如图，

∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，
∴S△AOB=3S△BOC，
∴S△BOC=×12=4，
∴|k|=4，
而k＞0，
∴k=8．
故选C．
9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，取格点D，使，连结，
则，，，
．故选A．
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论：
点，都是点的“倍增点”；
若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；
抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
若点是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，，
∴，
则是的“倍增点”，
∵，，
∴，，
则是的“倍增点”，故正确；
由题意设“倍增点”，
∴，解得：，
∴点，故正确；
设抛物线的“倍增点”为，
∴，整理得：，
∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确；
设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故正确；
综上可知正确，
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 函数中自变量的取值范围是__________.
【答案】且
【解析】根据题意得：
解得：且.
故答案为且.
12. 验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是_____．
【答案】
【解析】由题意猜想y与x成反比例关系，设，
把代入得，
，
当时，；
当时，；
当时，；
可见y关于x的函数关系式是．故答案为：
13. 我们在学习一次函数，二次函数图像的平移时知道：将一次函数的图像向上平移1个单位得到的图像；将二次函数的图像向左平移2个单位得到的图像，若将反比例函数的图像向右平移3个单位，则得到平移后的图像所对应的函数关系式是___________．
【答案】
【解析】利用题干给定的二次函数的图像向左平移2个单位得到的图像，
将反比例函数的图像向右平移3个单位，得到到平移后的图像所对应的函数关系式是，
故答案为：．
14. 如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为___________米．（结果精确到1米，参考数据）

【答案】16
【解析】由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
解得：，
（米），
建筑物的高度约为16米，
故答案为：16．
15. 如图,矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B(，5)，D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是_____．
【答案】y＝－
【解析】过点作于
由条件可知：，，
所以，，
则点坐标为
设反比例函数的解析式是,则有
反比例函数的解析式是．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∵tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出时的取值范围；
（3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标．
解：（1）由题意可得：
点在反比例函数图象上，
，则，
反比例函数的解析式为，
将代入，
得：，即，
将，代入一次函数解析式中，得
，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）由图可得：当或时，；

（3）点在轴上，
设点的坐标为，
一次函数解析式为，令，则，
直线与轴交于点，
由的面积为4，可得：
，
即，
解得：或，
点的坐标为或．
19. 如图，在中，，，．

（1）求的长；
（2）利用此图形求的值．（精确到，参考数据：，，）
解：（1）过点作延长线于点，

∵
∴
∴，，
∵
∴
∴
（2）解法一：在上截取，使，

∴，∴，
∵，，
∴；
解法二：作平分线交于点，

∴
过点作于点，设，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
解得，，
∴．
20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及该拋物线的对称轴；
（2）当时，的最大值是，求当时，的最小值．
解：（1）∵点是拋物线与轴的交点，
∴将代入得，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
（2）抛物线的顶点坐标为
∵当时，的最大值是，
又∵抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线顶点的纵坐标即为的最大值，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴当时，有时，取得最小值为．
21. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°．
（1）求点到的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，）
解：（1）过点作，垂足为，
设cm，在中，，
∴（cm），
∵cm，
∴cm，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的根，
∴cm，
∴点到的距离为38.1cm；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，cm，
∴（cm），
∴坐垫到地面的距离为：（cm），
∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
22. 如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2．
（1）求一次函数的解析式．
（2）点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数的图像经过点A，且点A横坐标是2，
∴，即．
∵一次函数的图像经过点A、，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点H．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵．
∴，，
∴；
（3）∵点F在一次函数的图像上，
∴可设．
∵，
∴，，，．
∵和中，和必相等，
∴可分类讨论：①当时，即此时，
如图，
∴，即．
∵此时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，即此时，如图，
∴，即．
∵此时，∴，
解得：，
∴．
综上可知，存在一点F使得和相似，点F坐标为或．
23. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
解：（1）①观察函数图像可得其性质：
当x>0时，y随x的增大而减小； 两段图象关于原点对称；
②不一定，当时，，
当时，，此时；
（2）①设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
将，代入得，，
解方程组得，
则AB所在直线解析式为：y=-x+3，
∵n=3，向下平移三个单位后，
直线l解析式为：y=-x，
如下图所示，设直线AB与y轴交点记为C，则C点坐标为（0，3），
过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，
易知直线l过原点，且k=-1，
∴直线AB、直线l与x轴负方向夹角都为45°，
则∠COQ=90°-45°=45°，且OC=3，
在等腰直角中，CQ=OCsin45°=，
则A、B两点之间距离为，
在中以AB为底边，因为平行线之间的距离处处相等，
所以AB边上的高为CQ=，
则，
故直线l的解析式为y=-x+3，△PAB的面积为；
②如下图所示，直线l与y轴交点记为D，则CD的长度即为向下平移的距离n，
由①知为等腰直角三角形，则，
．
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
4
1
0
－4
－2
－1
…