浙江省宁波市奉化区锦溪书院2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

这是一份浙江省宁波市奉化区锦溪书院2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江省的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
2．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．5
3．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，则函数值y的最小值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
4．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A＝∠DB．CE＝DEC．∠ACB＝90°D．CE＝BD
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（ ）
A．4.5B．8C．10.5D．14
7．（3分）已知函数y＝x2+2x﹣3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．﹣4B．0C．2D．3
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．3B．4C．3D．4
9．（3分）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③当x＜0时，y随x的增大而增大，④＜0，⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．①④⑤
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
12．（4分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 m．
13．（4分）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为 （填一个即可）．
14．（4分）已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ．
15．（4分）如图，已知点A（﹣1，2），将矩形ABOC沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点A1，A2，A3…，A2024的位置，则点A2024的坐标为 ．
16．（4分）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．则点P的坐标 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）已知线段a，b，满足．
（1）求的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且a＝8时，求x的值．
18．（6分）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
19．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长度，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ．（结果保留根号）．
20．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6．
（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标．
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（3）当x在什么范围内时，y≤6？
21．（8分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
22．（8分）如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP＝4，PB＝3，过P点另有一动弦CD，连结AC，DB，设CP＝x，PD＝y．
（1）写出y关于x的函数解析式．
（2）若CD＝8时，求S△ACP：S△DBP的值．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
24．（12分）如图，顶点为C的抛物线y＝ax2﹣3a与x轴交于A、B两点，连结BC，直线AE⊥BC，垂足为E交y轴于点D，且CD＝2．
（1）求A、B两点的坐标及a的值；
（2）过点B作x轴的垂线与直线AE交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段BF有交点，试求K的取值范围；
（3）△QGH与△COB关于x轴成轴对称，如图2，把△QGH沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设△QGH与△COB重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
2024-2025学年浙江省宁波市奉化区锦溪书院九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江省的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义解答即可．
【解答】解：A、历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意；
B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意；
C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意；
D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
【解答】解：∵；
∴＝+1＝+1＝．
故选：A．
【点评】解答此类问题时要先化简，然后再整体代入进行求值计算．
3．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，则函数值y的最小值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】把二次函数整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数值y的最小值是﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式更简便．
4．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A＝∠DB．CE＝DEC．∠ACB＝90°D．CE＝BD
【答案】D
【分析】根据垂径定理，直径所对的角是直角，以及同弧所对的圆周角相等，即可判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．∴CE＝DE．故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A＝∠D，故该选项正确；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项正确；
D、CE＝DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂径定理的基本内容，以及直径所对的圆周角是直角．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（ ）
A．4.5B．8C．10.5D．14
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
即＝，
解得EC＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
7．（3分）已知函数y＝x2+2x﹣3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．﹣4B．0C．2D．3
【答案】B
【分析】根据函数图象得到﹣3＜x＜1时，y＜0，即可作出判断．
【解答】解：令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
由函数图象得：当﹣3＜x＜1时，y＜0，
则m的值可能是0．
故选：B．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，求出x的范围是解本题的关键．
8．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）
A．3B．4C．3D．4
【答案】C
【分析】连接OB，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OE＝OF，得到矩形PEOF为正方形，根据正方形的性质得到OE＝PE，根据垂径定理和勾股定理求出OE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OB，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BE＝AB＝4，四边形PEOF为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，
∴矩形PEOF为正方形，
∴OE＝PE，
在Rt△OEB中，OE＝＝3，
∴OP＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9．（3分）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【答案】C
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故的度数是150°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③当x＜0时，y随x的增大而增大，④＜0，⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确的结论有（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】①根据图像得出a＜0，b＜0，c＞0，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为（2，0），进而得出a＝b，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，则c＝﹣6a，推出3a+c＝3a﹣6a＝﹣3a，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故③不正确，即可判断③；④由图可知，顶点在第二象限，则即可判断④；⑤根据二次函数与x轴交点坐标为（﹣3，0），（2，0），得出y＝a（x+3）（x﹣2），结合图象得出当y＝﹣3时，对应x的值在（﹣3，0）左侧，（2，0）右侧，即可判断⑤．
【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点（﹣3，0），
∴，与x轴另一个交点为（2，0），
∴a＝b，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴6a+c＝0，则c＝﹣6a，
∴3a+c＝3a﹣6a＝﹣3a，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
即3a+c＞0，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
当y＝﹣3时，对应x的值在（﹣3，0）左侧，（2，0）右侧，
∴a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，m＜﹣3，n＞2．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故选：D．
【点评】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【分析】用红球的个数除以球的总数量即可得．
【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，共12个，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．（4分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 2.6 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
【解答】解：连接OA；
Rt△OAD中，AD＝AB＝1米；
设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5﹣R；
由勾股定理，得：OA2＝AD2+OD2，即：
R2＝（5﹣R）2+12，解得R＝2.6（米）；
故答案为：2.6．
【点评】此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（ ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
13．（4分）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为 △ABC （填一个即可）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形内角和定理可求得∠ACD＝∠B，再根据∠A＝∠A即可证明△ADC∽△ACB，即可解题．
【解答】解：∵∠ACD+∠BCD＝90°∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB（AA），
故答案可以为：△ABC．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的证明，本题中求证△ADC∽△ACB是解题的关键．
14．（4分）已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ﹣2＜x＜8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．
故答案为：﹣2＜x＜8．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
15．（4分）如图，已知点A（﹣1，2），将矩形ABOC沿x轴正方向连续滚动2024次，点A依次落在点A1，A2，A3…，A2024的位置，则点A2024的坐标为 （3035，2） ．
【答案】（3035，2）．
【分析】先求出A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），找到规律求解．
【解答】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，
故坐标变换规律为4次一循环．A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），
……，
A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2），
当A2024时，即4n+4＝2024，解得n＝505，
∴横坐标为6n+5＝6×505+5＝3035，纵坐标为2，
则A2024的坐标（3035，2），
故答案为：（3035，2）．
【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
16．（4分）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似．则点P的坐标 （0，0）或（0，﹣）或（﹣9，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB＝3，OC＝3
∴OB＝OC，∴∠OCB＝45°
∵在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1
∴DF＝CF
∴∠DCF＝45°
∴∠BCD＝180°﹣∠DCF﹣∠OCB＝90°
∴△BCD为直角三角形．
①利用△BCD的三边，＝＝，又＝，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC＝3﹣a，＝，即＝，
解得：a＝﹣7，则P的坐标是（0，﹣7），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CDB不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC＝3﹣b，则＝，即＝，
解得：b＝﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AP＝1﹣d，当AC与CD是对应边时，＝，即＝，
解得：d＝1﹣3，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP＝1﹣e，当AC与DC是对应边时，＝，即＝，
解得：e＝﹣9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：（0，0）或（0，﹣）或（﹣9，0）．
故答案为：（0，0）或（0，﹣）或（﹣9，0）．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
三、解答题（共66分）
17．（6分）已知线段a，b，满足．
（1）求的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且a＝8时，求x的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，用b表示a，再进行计算．
（2）根据比例中项的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为，
所以a＝，
所以＝．
（2）因为a＝，且a＝8，
所以b＝6．
又因为线段x是a，b的比例中项，
所以x2＝ab＝48，
所以x＝（舍负）．
【点评】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用b表示出a进而代入计算是解题的关键．
18．（6分）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，
∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长度，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C （6，2） 、D （2，0） ；
②⊙D的半径＝ 2 ．（结果保留根号）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴与D，D即为圆心；
（2）①根据图形即可得出点的坐标；
②根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①C（6，2）、D（2，0）；
②⊙D的半径＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查对勾股定理，关键是根据题意确定出圆心D的位置．
20．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6．
（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标．
（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（3）当x在什么范围内时，y≤6？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用配方法把二次函数y＝x2+4x+6化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；根据x、y轴上点的坐标特点分别另y＝0求出x的值，令x＝0求出y的值即可．
（2）根据开口方向和对称轴即可确定其增减性；
（3）令y＝6求得x的值并结合开口方向确定答案即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，8）；
令y＝0，则﹣2x2+4x+6＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3；
∴图象与x轴交点坐标是（﹣1，0）、（3，0）．
（2）∵对称轴为：x＝1，开口向下，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
（3）令y＝﹣2x2+4x+6＝6
解得：x＝0或x＝2
∵开口向下
∴当x≤0或x≥2时y≤6．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与x轴的交点及配方法的应用，熟知以上知识是解答此题的关键．
21．（8分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂径定理可得＝，∠C＝∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB＝120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∴∠C＝∠AOD，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠C＝∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C＝30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°，
∴AF＝，OF＝，
∴AB＝，
∴S阴影＝S扇形OADB﹣S△OAB＝﹣××＝π﹣．
【点评】本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的知识求出∠C、∠AOB的度数，难度一般．
22．（8分）如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP＝4，PB＝3，过P点另有一动弦CD，连结AC，DB，设CP＝x，PD＝y．
（1）写出y关于x的函数解析式．
（2）若CD＝8时，求S△ACP：S△DBP的值．
【答案】（1）y＝；
（2）或4．
【分析】（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，根据相似三角形得到的比例线段即可求出y、x的函数关系式；
（2）已知CD＝CP+PD＝8，联立（1）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出所求的结果．
【解答】解：（1）∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△ACP∽△DBP；
∴＝，
∴CP•PD＝AP•PB，
即xy＝12；
∴y＝；
（2）由题意得，，
∴，，
∴CP＝2，PD＝6或CP＝6，PD＝2，
∴S△ACP：S△DBP＝＝＝或S△ACP：S△DBP＝＝＝4，
综上，S△ACP：S△DBP的值为或4．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
【解答】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
24．（12分）如图，顶点为C的抛物线y＝ax2﹣3a与x轴交于A、B两点，连结BC，直线AE⊥BC，垂足为E交y轴于点D，且CD＝2．
（1）求A、B两点的坐标及a的值；
（2）过点B作x轴的垂线与直线AE交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段BF有交点，试求K的取值范围；
（3）△QGH与△COB关于x轴成轴对称，如图2，把△QGH沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设△QGH与△COB重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（，0），a＝﹣1；
（2）0＜k＜﹣1或+1＜k＜2；
（3）S＝﹣t2+t，S的最大值为．
【分析】（1）对于y＝ax2﹣3a，当x＝0时，y＝﹣3a，令y＝0，则x＝，得到点A、B坐标，由OD＝OAtan∠DAO＝﹣×＝﹣，则CO＝﹣3a＝OD+CD＝2﹣，即可求解；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3，则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣k）2+3，求出点F（，2），将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：2＝﹣（﹣k）2+3，解得：k＝±1，进而求解；
（3）由S＝S梯形OBMG﹣S△BNT，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝ax2﹣3a，当x＝0时，y＝﹣3a，
令y＝0，则x＝，
则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（，0），点C（0，﹣3a），
则tan∠CBO＝＝，
∵AE⊥BC，则tan∠DAO＝﹣，
则OD＝OAtan∠DAO＝﹣×＝﹣，
则CO＝﹣3a＝OD+CD＝2﹣，
解得：a＝﹣1（经检验a＝﹣1是方程的根）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3，
则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣k）2+3，
则点C（0，3），则tan∠DAO＝﹣＝，
则∠DAO＝30°，∠CAO＝60°，AB＝2，
则BF＝ABtan∠DAO＝2×＝2，即点F（，2），
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：2＝﹣（﹣k）2+3，
解得：k＝±1，
而AB＝2，
则0＜k＜﹣1或+1＜k＜2；
（3）连接BH，设平移后QH交BC于点N，交x轴于点T，GH交BC于点M，
由（2）知tan∠OBC＝，则∠OBC＝60°＝∠QHC＝∠HTB，
则△NTB为等边三角形，则S△BNT＝（BT）2，
由题意得：OG＝t，则OQ＝3﹣t，
则OT＝OQtan30°＝（3﹣t）＝﹣t＝GM，则BT＝OB﹣OT＝t，
则S＝S梯形OBMG﹣S△BNT＝（GM+OB）×OG﹣（BT）2
＝[﹣+]×t﹣（t）2
＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+≤，
故S的最大值为．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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