上海市进才中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市进才中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了11，若复数,则 ，在中,,则 等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.若复数(其中i表示虚数单位),则 .
2.若直线与直线互相垂直,则 .
3.已知等差数列的前项和为,若,则 .
4.设集合,则 .
5.已知圆柱底面圆的周长为,母线长为4,则该圆柱的体积为 .
6.二项式的展开式中,有理项有 项.
7.在中,,则 .
8.已知正数满足,且不等式对任意的恒成立.则实数的取值范围是 .
9.已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是 .
10，有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有 种.
11.在平行四边形中,,点在边上,满足,若,点分别为线段上的动点,满足,则的最小值为 .
12.若关于的方程有两个不同的实根，且，则实数的取值范閲为 .
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第题每题4分,第题每题5分）
13.已知,则（ ）.
A. B. C. D.
14.某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布,某生成绩为102分,则该生成绩的年级排名大约是（ ）.
(附:参考数据:则,
.
A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名
15.设抛物线的焦点为,直线与交于两点,
,则的斜率是（ ）.
A. B. C. D.
16.已知函数满足,当时,,则（ ）.
A.为奇函数 B.若,则
C.若,则 D.若,则
三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在五面体中，平面平面.
（1）求证:平面;
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数.
（1）求的最小正周期和严格增区间;
（2）若是三角形的内角，，求三角形的外接圆半径。
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个.
（1）若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率;
（2）若不放回地从袋中随机摸出2个球用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望与方差.
20.（本满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
已知双曲线的实轴长为2，离心率为.过右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点
（1）求双曲线的标准方程;
（2）设直线（为坐标原点）的倾斜角分别为,且,求直线的方程;
（3）点是线段的中点,过点且与直线垂直的直线交直线于点,求三角形面积的最小值.
21.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
已知函数是定义在上的函数.若满足对任意的,有,则称具有性质.
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由;
（2）函数具有性质，命题恒成立；命题是严格增函数；试判断命题是命题的什么条件？并说明理由
（3）若函数具有性质,求的最大值.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.在平行四边形中,,点在边上,满足,若,点分别为线段上的动点,满足,则的最小值为 .
【答案】
【解析】若,则,以为坐标原点建立平面直角坐标系,则,
设,则,所以,
所以,,
所以,,是关于的开口向上,对称轴为的二次函数,当时,取得最小值.
12.若关于的方程有两个不同的实根，且，则实数的取值范閲为 .
【答案】
【解析】因为不是方程的根,所以有两个不相等的实数根,令,则,
当时,在区间上单调递减,且;
当时,在区间上单调递减,且,
当时,在区间上单调递增,且,
所以的极小值为,图象大致如图:
若有两个不相等的实数根,则,即,且,
令,则,由,得,又,所以,
所以,取对得,所以,
设,则,
所以在上单调递减,则.
又在区间上单调递减,,,
所以,即
所以实数的取值范围为.故答案为:.
二、选择题
13.B 14.B 15.D 16.C
15.设抛物线的焦点为,直线与交于两点,
,则的斜率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】下图所示为的斜率大于0的情况.
如图，设点在的准线上的射影分别为,,垂足为.
设,则.
而,
所以的斜率为.同理,的斜率小于0时,其斜率为-2.
另一种可能的情形是经过坐标原点,可知一交点为,则,
可求得,可求得斜率为,同理，的斜率小于0时，其斜率为-2.
故选:D.
16.已知函数满足,当时,,则（ ）.
A.为奇函数 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】令,则；令,则.
令,得,故为偶函数，故不正确；
任取,则,则,
故在上为减函数.由已知,可得,
故,解得,且,故不正确；
若,则,故正确;
若,则,
,所以,故不正确.故选：.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）1
19.（1） （2）
20．（1）（2）或 （3）
21．（1）不具有，具有
（2）充分非必要条件，非必要性举反例
（3）