湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了设集合则，下列说法不正确的是，已知函数，则下列说法错误的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分150分 考试用时120分钟）
一､单项选择题
1.设集合则（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法不正确的是（ ）
A.命题，则命题的否定：
B.若集合中只有一个元素，则
C.若，则
D.已知集合，且，满足条件的集合的个数为8
3.下列比较大小的式子中，正确的有（ ）个
①；②；③
A.0 B.1 C.2 D.3
4.幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
5.在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.关于的方程有13个不同的解
C.在上单调递增
D.当时，恒成立
二､多项选择题
9.下列说法正确的是（ ）
A.若的定义域为，则的定义域为
B.函数且的图象恒过定点
C.函数的最小值为6
D.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.的值域是 D.的值域是
11.已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A.为奇函数 B.
C. D.
三､填空题
12.已知，计算：__________.
13.已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为__________.
14.已知函数定义域为，且满足，当时，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题
15.已知函数的定义域为
（1）求实数的取值集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16.已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.
17.荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为.
（1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.
（i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围；
（ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.
18.已知函数.
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若方程有实根，求实数m的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
19.若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数.已知函数.
（1）证明：函数在区间上单调递增.
（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由.
参考答案
三､填空题
12. 13. 14.
四､解答题
15.（1）由题意得不等式的解集为：
当时，恒成立，满足题意；
当时，则由解集为可得，解得：，
综上可得：；
（2）由是的必要不充分条件可得：是的真子集，
当时，满足题意，此时有，解得：；
当时，则，解得，
综上可得的取值范围是.
16.（1）不等式即为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上可知：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
（2）方程有两个正实数根，
即有两个正实数根
故，解得，
所以
令，则，故
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为6.
17.（1）（i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，所以，又矩形窗户面积，解得，
故的取值范围为.
（ii）设地板面积为，解不等式组，
所以，即，解得，
故窗户面积最小为，
令，可得，解得或.
故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米.
（2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），
由题意得：，则.
因为，所以，即，
所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.
18.（1）当时，，
令，因为，所以，
所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，所以.
所以时，在区间上的值域为.
（2）由（1）知当令，
则，即有实数根，此时实数根大于零，
所以可得，解得：.
所以方程有实根，实数的取值范围为.
（3）由题意得，
若对任意的，总存在，使得，可得，
由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，
所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，
所以当时，有最小值，
由（2）知当令，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在时均单调递增，
所以函数在时单调递增，所以，
所以.
19.（1）任取，不妨设，
则
，
由，则，
故，即，
故函数在区间上单调递增.
（2）当时，与存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，则；
若当时有，即，
则在上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即为与的隔离直线函数.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
A
B
D
D
C
AD
ACD
BCD