吉林省吉黑十校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省吉黑十校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得.
故选：B.
2. 若，，则（ ）
A. p是全称量词命题，且是真命题B. p是全称量词命题，且是假命题
C. p是存在量词命题，且是真命题D. p是存在量词命题，且是假命题
【答案】A
【解析】因为，
所以，，则p是全称量词命题，且是真命题.
故选：A.
3. 已知函数则（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 11
【答案】C
【解析】由题意可得，则.
故选：C.
4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：当时，，选项A错误；
对于B：因为，令，则，选项B错误；
对于C：，因为，，若，则，
选项C错误；
对于D：由，得，则，选项D正确.
故选：D.
5. 幂函数是偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
【解析】因为是幂函数，
所以，即，解得或，
当时，可化为，
易知的定义域为，关于原点对称，且，
所以是偶函数，满足题意；
当时，可化为，
显然，故不是偶函数，不满足题意；
综上：.
故选：C.
6. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】不等式等价于不等式，即不等式，
即不等式，解得或.
故选：B.
7. 已知函数，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
因为，，所以.
故选：C.
8. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，解得或.
因为，，所以，即的最小值是4.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】因为命题“，”是真命题，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，则，
由选项可知，，均是的必要不充分条件.
故选：ABC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 的定义域是
C. 的值域是
D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】因为，所以，
所以不是奇函数，则A错误；
由题意可得的定义域是，则B正确；
因在R上单调递增，而函数在和上单调递增，
在上单调递减，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又当时，，所以；
当时，，所以.
则的值域是，则C、D正确.
故选：BCD.
11. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 的图象关于点中心对称
【答案】ACD
【解析】因为，所以.
因为是奇函数，所以，
则，所以，则A正确；
因为，即，所以的图象不关于直线对称，则B错误；
因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，
即是偶函数，则C正确；
因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点中心对称，则D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】3
【解析】.
13. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】由题意可得，则，，所以不等式，
即不等式，
因为，所以不等式，
即不等式，解得或.
14. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
解：（1）由题意可得.
当时，，
则.
（2）由（1）可知，则，
因为，所以，
解得，即a的取值范围是.
16. 已知，，且.
（1）证明：
（2）求的最小值.
解：（1）因为，，所以，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，所以，所以.
（2）因为，所以.
因，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，则，
故，即的最小值是2.
17. 已知函数.
（1）求；
（2）判断的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
（3）若不等式，求t的取值范围.
解：（1）由解析式可知：.
（2）在R上单调递增.
设，则
.
因为，所以，所以，所以，
即，则在R上单调递增.
（3）易知等价于，
即.
由（2）可知在R上单调递增，则，即，
即，解得或，
即t的取值范围为.
18. 某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的
（1）求每年捕捞的鱼的数量的百分比.
（2）到今年为止，该水库已捕捞了多少年?
（3）今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?
解：（1）由题意可得，即，解得，
则每年捕捞的鱼的数量的百分比为.
（2）设到今年为止该水库已捕捞t年，则，所以，
所以，解得，
即到今年为止，该水库已捕捞了3年.
（3）设今年之后，最多还能捕捞n年，
则n年后，水库里鱼的剩余数量为.
题意可得，则，
所以，解得，
故今年之后，最多还能捕捞9年.
19. 如图，在等腰梯形中，，.点P沿移动，点Q沿移动.已知P，Q同时从点A出发，P每秒移动1个单位长度，Q每秒移动2个单位长度，P，Q重合时，停止移动.记它们移动的时间为x秒，梯形的面积与的面积之差为.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值.
解：（1）因为，所以，
如图1，作，垂足为E，
由题意可得，，则，
，
故梯形的面积，
当时，P在线段上，Q在线段上，且，，
如图1，作，垂足为F，
因为，所以，
所以的面积，
则，
当时，P在线段上，Q在线段上，且，
则的面积，
故，
当时，P在线段上，Q在线段上，且，，
如图2，作，垂足为H，
因为，所以，
所以的面积，
故；
当时，P，Q均在线段上，
且，，
如图3，作，垂足为M，作，垂足为，
则，
因为，所以，
所以的面积，
则，
综上，.
（2）由（1）可得，
当时，易证函数在上单调递减，则；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，则；
当时，易证函数在上单调递增，
则，
又，
且，所以，
所以，
则的最小值是.