广西南宁市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广西南宁市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列各数（相邻两个1之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．下列手机屏幕上常见的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组中两项属于同类项的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
4．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与、对应，若，则的度数为（ ）
第4题图
A．B．C．D．
5．如图，四边形外切于，且，则四边形的周长为（ ）
第5题图
A．60B．55C．45D．50
6．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
第7题图
A．B．4C．D．8
8．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）
第8题图
A．B．C．D．
9．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共人，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ）
第10题图
A．B．C．D．
11．如图，中，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，点的坐标为（ ）
第11题图
A．B．C．D．
12．如图，在正方形中，分别为边的中点，为边上上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点为的中点，为线段上任意一点，则长度的最小值为（ ）
第12题图
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．因武分解：______．
14．在平面直角坐标系中，点的坐标为（），点的坐标是（4，b），若点与点关于原点对称，则______．
15．已知是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则c=_______．
16．如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大的，游客行走的距离是______米．
第16题图
17．如图，在平，为边和点．以为圆心，为半径画弧，恰好经过点．以为圆心，为平径画弧，与相切于点．若，则阴影部分的面积为______（结果保留）
第17题图
18．如图所示，抛物线与轴交于点A和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是______．
第18题图
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程演算步聚）
19．
20．解方程：
21．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求作图．
第21题图
（1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出；
（2）作出关于坐标原点成中心对称的；
（3）㝍出线段与的位置关系；不用说明理由．
22．2021年是中国共产党建党100周年华诞，“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：
第22题图
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．
23．【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
（1）现在需要制作一个的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
（2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
24．综合与实践：数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．
【实验过程】：如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：cm）的数据．
【收集数据】：记录的数据如表：
【建立模型】：根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系．请直接写出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
【拓展应用】：
（1）当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是多少？
（2）若黑球到达木板点处的同时，在前方70cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由．

25．【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点距地面3米，最低处的点距地面1.8米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含的代数式表示）
26．如图，抛物线过点，顶点为，抛物线（其中为常数，且），顶点为．
第26题图
（1）直接写出的值和点的坐标．
（2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上．
淇淇说：无论为何值，总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当时，
①求直线的解析式；
②作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标．
（4）设与的交点的横坐标分别为，且，点在上，横坐标为点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示．
期中阶段测试参考答案
1．【知识点】无理数、有理数的分类、有理数的概念
解：0是整数，属于有理数：是分数，属于有理数；－3.14是有限小数，属于有理数；是无理数；0.56是无限循环小数，属于有理数：．（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）是无理数，所以有理数共有，一共有4个．
2．【知识点】轴对称图形的识别
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
3．【知识点】同类项的判断
选项A：和相同字母的指数不相同，不是同类项；
选项B：和字母不相同，不是同类项；
选项C：和是同类项；
选项D：和所含字母不相同，不是同类项．
4．【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题
解：，将沿折叠，、两点分别与对应，
，
，，
，，
5．【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解
解：∵四边形外切于，切点分别为，
，
，
四边形的周长为：，
6．【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去，
A、由二次函数的图象得，要根据得到，则一次函数经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数的图象得，再根据得到，则一次函数经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
7．【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
直径垂直于弦，，
，，，
设，，，
解得：，即：，，
8．【知识点】根据概率公式计算概率
解：整个图形面积，阴影部分面积，
小球停在阴影区域的概率，
9．【知识点】列分式方程
试题分析：实际参观有人，则原来有人，原来每人的费用为：元，现在每人的费用为：元，则根据题意可得：．
10．【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长
四边形是菱形，．
在Rt中，是斜边上的中线，，．
在Rt中，．，
即，解得．故选：D．
11．解：由旋转的性质可知，．
是等边三角形，
，
，
如图，过作轴于，则，
，
，
由勾股定理得，，点的坐标为．
12．解：如图，连接，正方形，
，，
分别的中点，，，
为的中点，，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当四点共线时，最小，
此时，
，，
即的最小值为：；
13．
14．12
点的坐标为，点的坐标是，点与点关于原点对称，
，则，
15．7
16．
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【详解】解：取的中点，过点作于，以直径作，如图所示；
根据圆周角定理，劣弧所对的圆周角都是相等的，则游客在步道上由点出发沿方向行走时，与相切时，观景视角最大，
，点是的中点，，
，，
，从而由勾股定理可得，
，又，
是的切线，切点为，
当点与点重合时，观景视角最大，此时．
17．
解：与切于，，
由题意可知：，，
四边形是平行四边形，，，
为边中点，，，
，，，
，四边形是正方形，
阴影部分的面积扇形的面积－的面积+正方形的面积—扇形的面积，
18．
【详解】解：点是抛物线与轴的交点，
点的坐标为，，
点的坐标为，，，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或（舍去），点的坐标为，
取，连接，，
又，四边形是平行四边形，，
四边形的周长，
点关于直线对称，，
四边形的周长，
当三点共线时，最小，最小为，即此时四边形的周长最小，，
四边形的周长的最小值为，
故答案为：．
19．解：原式
20．解：
即或
解得
21．（1）解：如图，
如图所示，即为所求．
（2）解：
如图所示，即为所求．
（3）解：；理由如下：由图得：
，，，，
为直角三角形，，，
由旋转得：，，
，．
22．【知识点】列表法或树状图法求概率
【详解】解：（1）由题意得：人，
“良好”的人数为人，
“优秀”所占百分比为，“合格”所占百分比为，则补全统计图如图所示：
故答案为30，25；
（2）由（1）可得：（人）；
答：成绩未达到“良好”及以上的有195人
（3）由题意可得：
抽到甲、乙两人的概率为．
23．（1）
（2）
【知识点】解直角三角形的相关计算、求圆锥侧面展开图的圆心角、圆锥侧面上最短路径问题、三线合一
【详解】（1），，，扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
，
，，
彩带长度的最小值为．
24．【知识点】的图象与性质、行程问题（一次函数的实际应用）、求一次函数解析式
【详解】解：由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，
设关于的函数解析式，把代入解析式得：
，解得，
由表格申数据可知运动距离与运动时间是二次函数，
设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，
把代入解析式得解得，
①由题可知：当时，，
解得：．当时，；
当时，（舍去）；
当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是．
②设黑球与小车的距离为，
，
．
，抛物线开口向上，当时，的最小值为6，
，黑球不会碰到小车．
25．（1）见解析
（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点距地面的距离为1.2米
（3）
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理
解：（1），，
，，
视角最大，站在此处观赏最理想．
（2）连接，作于点，
由题知，米，，
，
，为等边三角形，
米，
，米，
，
四边形为矩形，米，
米，距地面的距离为（米），
即点距地面的距离为1.2米．
（3）：展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，
米，，
米米，
由（2）同理可知，四边形为矩形，
米，
．
26．（1）
（2）两人说法都正确，理由见解析
（3）①；②或
（4）
（1）解：抛物线过点，顶点为．
，解得：，
抛物线为：2，；
（2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，
当时，，
在上，嘉嘉说法正确；
，
当时，，
过定点；
淇淇说法正确；
（3）解：①当时，，
顶点，而，设为，
，解得：，为；
②如图，当
（等于6两直线重合不符合题意），，
交点，交点，
由直线，设直线为，，
解得：，直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，同理当直线过点，
直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，
（4）解：如图，，，
是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接交于，连接，，
四边形是平行四边形，
当点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，此时与重合，与重合，
，的横坐标为，
，
的横坐标为，，
解得：；
运动时间
0
3
6
9
12
15
运动速度
10
8.5
7
5.5
4
2.5
运动距离
0
27.75
51
69.75
84
93.75
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
D
A
C
B
D
D
A
B