北京市第五十七中学2024~2025学年九年级上学期期中数学试卷

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二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.k>1; 10 (-1,-2),(2t+3,y1) 11.2 12. 338=200(1+X)²
13.-1,3 14.2019 15.或 16.甲乙丁
三、解答题
17.(1) -1,-2; (2)X= 1∓32
18. 解：（1）补全的图形如右图所示；
（2），直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端，并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线．
19. 解：（1）c=-2，对称轴为直线.
（2）由对称性可知，-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根.
（3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.
∴
解得
∴ 二次函数的解析式为………………………6分
20解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长．
【分析】由题意得AC＝AD＝3，可推出∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意得：△ABC≌△AED，
∴AC＝AD＝3，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，
∴∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝AF，
∵AF2＝CF2+AC2＝，
∴AF2＝，
∴AF＝AC＝2．
【点评】本题考查旋转的性质及勾股定理的应用．注意计算的准确性．
22.【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，
∵Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∵方程的两个根均为负数，
∴
解得a＜﹣1．
∴a的取值范围为a＜﹣1．
23
证明:连接OE,如图.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AEB=90°,
即∠AEO+∠OEB=90°
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠BAE.
∵∠BEF=∠CAE,∴∠BEF=∠BAE.
∵OA=OE,∴∠BAE=∠AEO,
∴∠BEF=∠AEO,
∴∠BEF+∠OEB=90°,
即∠OEF=90°,∴OE⊥EF.
又∵OE是☉O的半径,
∴EF是☉O的切线.
24.【解答】解：连接OD，交BE于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BE，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵∠EAD＝22.5°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠ABE＝∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE＝4，
∴AB＝BE＝4，
∴⊙O的半径为2．
25
【答案】（1）

（2）
（3）； 1
26.（1）x=1; (2)1/2