四川省达州市万源中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形D. 两个互异平面和有三个不共线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据点、线、面位置关系依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误；
对于B，空间四边形不是平面图形，B错误；
对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；
对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误.
故选：C.
2. 已知，，则线段AB中点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.
【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即.
故选：A
3. 如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.
【详解】因为在平行六面体中，是的中点，
所以.
故选：A.
4. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.
【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，

其中 ，，
所以这个平面图形的面积为.
故选：D
5. 设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（ ）
A. ，，且B. ，，且
C. ，，且D. ，，且，
【答案】A
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断BCD.
【详解】对于A，由，，得，而，所以；
对于B，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：
当，，，都与平行时，，相交，B错误；
对于C，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：
当，都与平行时，，相交，C错误；
对于D，若，，且，，此时，可能相交，如下图所示：
当，都与平行时，，相交，D错误.
故选：A
6. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B. 早睡人群睡眠指数主要集中在80,90
C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图中的数据分析及极差的概念作出判断.
【详解】A选项，由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数，
从而无法确定在睡眠指数的人群中，早睡人数和晚睡人数，A错误；
B选项，由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在内，B正确；
C选项，在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，C错误.
D选项，晚睡人群睡眠指数主要集中在内，D错误.
故选：B
7. 已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可.
【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点，
则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径，
所以，
所以该正六棱柱的外接球的体积为.
故选：C.
8. 设是定义域为R的奇函数，且．如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定出函数的周期性，然后由周期性和奇偶性求值．
【详解】是奇函数，则，又，
所以，所以，
是周期为2的周期函数，
，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若向量，，满足，则
C. 空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面
【答案】AD
【解析】
【分析】利用空间向量运算判断A；利用相等向量的意义判断B；利用空间的一个基底的意义判断C；利用空间共面向量定理判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，，，，四点可能在一条直线上，B错误；
对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误；
对于D，若，则，
化简得，因此，，，四点共面，D正确.
故选：AD
10. 已知函数，若把函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在上有3个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合条件求，由此可得函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由已知可得
因为函数的图像关于原点对称，
则，解得，又，
则时，，
所以，故A错误；
因为，
所以的图像关于点对称，故B正确；
当时，则，
且函数在单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
令，即，
解得，又，
则，共两个零点，故D错误；
故选：BC.
11. 在三棱锥中，两两垂直，平面于点，设的面积分别为，下列命题中正确的是（ ）
A. 可能为直角三角形B. 点为的垂心
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】假设，，，求出，，，根据长度和三角形形状的关系判断A选项，根据垂心的定义判断B选项，根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.
【详解】假设，，，
所以，，，
因为任何两边的平方和大于第三边的平方，
所以是锐角三角形，故A选项错误；
由两两垂直易证平面，
所以，因为，
所以易证平面，所以，
同理可得，，
所以点为的垂心，故B选项正确；
设的面积为，因为四面体体积为，
所以，等式两边平方可得，
由海伦公式可得，其中，
所以
，
所以代回可得，故C选项正确；
，，，，
因为，所以，
所以，
因为，，，
所以，故D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.
【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，
所以，，
所以.
当加入新数据5后，平均数，
方差.
故答案为：
13. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案.
【详解】由题意得，，，
故.
故答案为：
14. 如图，边长为的正三角形的中线与中位线交于点G．已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是______．

（1）三棱锥的体积有最大值
（2）异面直线与不可能互相垂直
（3）恒有平面平面
（4）动点在平面上的射影在线段上
【答案】（1）（3）（4）
【解析】
【分析】通过底和高来确定体积、证明线面垂直、异面直线所成角、面面垂直的性质等逐个判断即可.
【详解】对于（1）：三棱锥的底面的面积是定值，高是点到平面的距离，
当平面时距离（即高）最大，
三棱柱的体积最大，故（1）正确；
对于（2）：由得是异面直线与所成的角（或其补角），
因为正三角形边长为，
所以的长度的取值范围是，
当时，，所以，
此时直线与互相垂直，故（2）错误；
对于（3）：在正三角形中，为中线，为中位线，
所以，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故（3）正确；
对于（4）：过作，垂足为，则平面，

又平面平面，平面平面，
所以平面，则动点在平面上的射影在线段上，故（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）三棱锥的体积大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）连接，取的中点为，利用平行公理及线面平行的判断推理即得.
（2）由（1）的结论，利用等体积法转化求出体积.
【小问1详解】
在正方体中，连接，取的中点，连接，
有M为的中点，则，又E为BC的中点，
于是，则四边形是平行四边形，，
又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，
因此，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，
所以三棱锥的体积.
16. 已知空间中三点．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）可求由已知可设，通过模长公式计算可得，即可得出结果；
（2）通过数量积公式求得，利用三角形面积公式计算即可得出结果.
【小问1详解】
空间中三点，
，且，设，
或．
【小问2详解】
∵，
，
，
，
．
17. 某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，40,50，50,60，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
（1）用样本频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？
（2）经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和40,50的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．
【答案】（1）盈利 （2）．
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质求的值，再利用加权平均数的算法求收取的费用，和支出的费用比较，可得问题答案.
（2）先根据分层抽样的概念确定选取的6人中年龄分别在和的人数，从中选2人，列出所有可能，找出保险费用超过150元的所有情况，根据古典概型的计算公式求相应的概率.
【小问1详解】
由，解得
保险公司每年收取的保费为：
．
因为，
所以2023年度公司为盈利.
【小问2详解】
选取的6人中，有2人来自年龄在，记这2人分别为，，有4人来自年龄在，记这4人分别为，，，，
从这6人中任取2人的所有基本事件有：
，，，，，，，，，
，，，，，共15种，
其中保费超过150元的有，，，，，共6种，
所以被免去保费超过150元的概率为．
18. 已知点在所在平面内，满足与的交点为，平面向量与相互垂直.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，利用正弦定理及辅助角公式化简得，求解即可；
（2）根据面积公式得，由余弦定理求得，利用向量运算及数量积求模公式求解即可.
【小问1详解】
由向量与相互垂直得，，
由正弦定理得，
，，
，
即，
.
，
，即，
，，即.
，，即.
【小问2详解】
由，得.
由余弦定理，得.
，，即点为的重心，
点是的中点，，
.
19. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；2
【解析】
【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；
（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.
【小问1详解】
因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
【小问2详解】
由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
年龄
40,50
50,60
保费
30
60
90
120
150