江苏省无锡市江阴市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)

这是一份江苏省无锡市江阴市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）
1. 物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（ ）
A. 5B. 25C. 125D. 625
【答案】C
【解析】物体运动的方程为，则，
代入，得时的瞬时速度为.
故选：C
2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A. 4种B. 6种C. 7种D. 9种
【答案】A
【解析】买两本，有种方案；买三本，有1种方案；
因此共有方案(种)．
故选：A.
3. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数，定义域为，
，令，解得，
则函数的单调递减区间为.
故选：C.
4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，
即.
故选：A.
5. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得．
因为，
所以．
故选：C．
6. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.
详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，
其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，
所以所求概率为，故选D.
7. 已知，则的大关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
8. 若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】根据指数函数性质在上单调递增，
故当时，则在上单调递增，
，
根据零点存在定理，在存在唯一零点，
则当时，无零点
时，，
令，则，时，则；
在上单调递减，在上单调递增，
于是时，有最小值
依题意，，
解得，所以最小整数为
故选：C
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）
9. 关于，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】令，则，即，故A正确；
令，则，
即，
所以，故B错误；
根据二项式展开式的通项公式：，故C错误；
令，则，
令，则，
两式相加可得，①
两式相减可得，②
②①可得，
所以，故D正确.
故选：AD
10. 下列正确的是（ ）
A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B. 由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
【答案】ACD
【解析】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；
若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；
数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；
若三位数比320大，则百位是4时，有个，
若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有极小值
B. 函数在处切线的斜率为4
C. 当时，恰有三个实根
D. 若时，，则的最小值为2
【答案】AD
【解析】由题意可得：，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递减，在上单调递增，
可知的极大值为，极小值为，
且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，
可得的图象如下：

对于选项A：可知极小值为，故A正确；
对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；
对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，
由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；
对于选项D：若时，，则，
所以的最小值为2，故D正确；
故选：AD.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）
12. 计算：___________.（用数字作答）
【答案】65
【解析】因为，
所以.
故答案为：65
13. 已知随机变量的分布列如下，则______.
【答案】9
【解析】，
，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
根据题意可作出图象如下：
若关于的方程恰有4个不同实数根，
令，，则有两个不等实数根，
故与都有2个交点，或者与有1个交点，与有3个交点；
当与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；
当与有1个交点，与有3个交点，
则，当时，，解得，
故，解得或，舍去；
故，
两个实数根的范围为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，计77分）
15. 已知函数，当时，取得极值．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最值．
解：（1）依题意可得，
又当时，取得极值，所以，即；
解得；
所以；
（2）由（1）可知，
令，可得或，
当变化时，的变化情况如下表所示：
因此，在区间上，的最小值为，最大值为.
16. 已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．
解：（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），
因为前3项系数成等差数列，
所以，
化简得，解得或（舍）．
展开式共有9项，二项式系数最大的项为.
（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），
设第项的系数最大，则，
即，
解得，则或，
所以展开式的第3项与第4项系数最大，
即和.
17. “国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
（2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1）由频率分布直方图可得，，
解得．
100份问卷的平均分为：（分）．
（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．
则的所有可能的值为0，1，2．
则，，，
故的分布列为
.
18. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
解：（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设是函数的两个极值点，证明：.
解：（1），定义域为，
当时，，
当时，，当时，
在上递增，上递减；
当时，，
若，即时，，所以在上单调递增；
若，即时，
令，得，
当或时，，
当时，，
∴在上递增，在上递减，
当时，时，，当时，，
∴在上递增，上递减，
综上所述，当时，在上递增，上递减；
当时，在上单调递增；
当时，
在上递增，
在上递减；
当时，在上递增，上递减；
（2），
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，
∵，设，则，
当时，显然在上有解；
当时，，，
由韦达定理知，，
所以必有一个正根，满足条件，
当时，有，解得，
综上，实数的取值范围为；
（3）由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立.
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2