四川省2025届高三上学期9月摸底大联考（新课标卷) 数学试题（含解析）

这是一份四川省2025届高三上学期9月摸底大联考（新课标卷) 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了设集合，若，则，已知复数满足，则，已知平面向量，已知，则等内容，欢迎下载使用。
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1，答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3､考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则（ ）
A. B.0 C.2 D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量.若向量与共线，则实数的值为（ ）
A.3 B. C. D.
4.已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7.风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在笔形中，对角线所在直线为对称轴，是边长为2的等边三角形，是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线折叠，使得，形成四面体，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球.设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A.事件与事件是互斥事件
B.事件与事件是对立事件
C.事件与事件是相互独立事件
D.事件与事件是互斥事件
10.在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则（ ）
A.
B.当时，取得最小值
C.点是曲线的一个对称中心
D.当时，的单调递增区间为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.为偶函数 B.
C.在上单调递增 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为______.（用数字作答）
13.已知的内角的对边分别为，若的面积为，则______.
14.已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1
（1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
（2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.
16.（15分）
已知等比数列的各项均为正数，且.
（1）求的通项公式；
（2）令，记，求.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）
已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值.
19.（17分）
定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得
这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用.
（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；
（2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；
（3）利用（2）中的结论，证明：当时，.（为自然对数的底数）
2025届新高三学情摸底考（新课标卷）
数学·全解全析及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】因为，所以解得.故选C.
2.A 【解析】设，则，所以，即，所以解得所以，所以.故选A.
3.B 【解析】由题意，知.由向量与共线，得，即，解得.故选B.
4.D 【解析】因为为奇函数，所以，即，所以.求号，得，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选D.
5.D 【解析】由，得，所以，所以，
所以，所以.故选D.
6.B 【解析】可将转化为，所以圆心为，设直线，为直线上一动点.由题意，得的最小值为，即当与直线垂直时，取得最小值，则.因为，解得.故选B.
7.C 【解析】取棱的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，所以且.又因为为等腰直角三角形且直线为该等形的对称轴，所以，且.又因为，所以为直角三角形，且.过的外接圆圆心作直线平面，过点作直线平面，直线与直线相交于点，则点为四面体外接球的球心，计算，得四面体外接球的半径，所以四面体外接球的表面积.故选C.
8.A 【解析】设，则，.又，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为2.故选A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD 【解析】对于A，由题意，知事件表示摸出的两个球的编号为1，2或1，3，事件衣示摸出的两个球的编号为3，4，所以事件与事件是互斥事件，故A正确：
对于B，事件表示摸出的两个球的编号为1，3或2，3或3，4，因为，所以事件与事件不是对立事件，故B错误；
对于C，因为，所以，所以事件与事件是相互独立事件，故C正确：
对于D，因为事件表示摸出的两个球的编号为3，4，事件表示摸出的两个球的编号为1，3，
所以事件与事件是互斥事件，故D正确.
故选ACD.
10.AC 【解析】由题意，知点.
对于A，，故A正确；
对于B，当时，，为最大值，故B错误；
对于C，令，解得，所以点是曲线的一个对称中心，故C正确：
对于D，令，解得.又，所以，，所以的单调递增区间为，故D错误.
故选AC.
11.BCD 【解析】对于A，令，得，令，得，所以为奇函数，故A错误；
对丁B，令，得，令，得，又，所以，所以，故B正确；
对于C，由，得，
记，则，且也为奇函数.
又当时，，即.下面证明在上单调递增，
设，则，
即当时，，所以在上单调递增.
又为奇函数，当时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，故C正确：
对于D，令，得，所以.
又为奇函数，所以为偶函数.
因为，及的周期为4，
所以.
由，解得，
所以，故D正确.
故选BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【解析】因为的展开式中的系数为，所以所求的的系数为.故填.
13.或 【解析】由，得.因为，所以或.当时，由余弦定理，得，解得；当时，由余弦定理，得，解得.故填或.
14. 【解析】由题意，知射线，联立，得，所以.又圆与圆围成的图形的面积大丁圆的面积，所以，即，所以，所以，令，又在上单调递增，所以.故填.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
【解析】（1）设事件“至少选到2箱A级苹果”.
由题意，知选到1箱A级苹果的概率为，
所以选到1箱非A级苹果的概率为，
所以，
即至少选到2箱A级苹果的概率为.
（2）由题意，知选出的10箱苹果中，A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱.
的所有可能取值为，
且，
所以的分布列为
.
16.（15分）
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，得.
由，得，
解得，
所以，即的通项公式为.
（2）由（1），知，
由，即，
得，
，
两式相减，得
，
，
所以.
说明：
不倒序，真接利用求和，按以下步骤给分：，
，
两式相减，得
所以.
17.（15分）
【解析】（1）因为平面平面，所以.
又底面为矩形，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由题意，知在中，，所以，所以，（6分）
.
过点作交于点，连接，
因为平面，所以.
又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以.
设平面的法向是为，则
令，则，得是平面的一个法向量.
设平面的法向是为，则
令，则，得是平画的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.（17分）
【解析】（1）由题意，知动圆的圆心为，
所以，
化简，得，即点的轨迹的方程为.
（2）如图，由题意，知，
设，
由点共线，得，
解得或（舍去），所以，
所以点关于轴的对称点为.
由题意，知直线的斜率存在，记直线的斜率为，且，
设直线，
因为点在抛物线上，
由，得，所以，
所以，所以.
又因为，所以直线的方程为.
联立，解得.
因为
，
所以当，
即当时，取得最大值.
说明：
化简轨迹的方程.
另解：由题意，设，
所以，
山题意，知，
所以，
所以，即点的轨迹的方程为.
19.（17分）
【解析】（1）由，得，
由，根据罗尔定理，知存在，使得，
由，根据罗尔定理，知存在，使得，
由，根据罗尔定理，知存在，使得，
所以方程至少有三个根.
又为三次函数，所以方程至多有三个根，所以方程有三个根，且，
（2）令，则.
因为在闭区间上连续，在开区间内可导，所以函数在闭区间上连续，在开区间内可导，月.，由罗尔定理，知在开区间内至少存在点，使得.
由，得，
所以，
即在开区间内至少仔在一点，使得，即.
（3）由，得，
要证，即证.
令，由（2），得
对于区间，存在，使得，
对于区间，存在，使得.
因为，令，则，所以在上单调递增，又，所以，
即，即，
即1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
D
D
B
C
A
ACD
AC
BCD
0
1
2
3