河南省周口市2022_2023学年高二数学上学期期中试题含解析

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（考试用时120分钟试卷满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应科目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，涂上其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:选择性必修一一、二章.
第I卷（选择题）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间任意四个点A，B，C，D，则等于（）
AB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.
【详解】易知，.
故选：D.
2. 如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】
.
故选：C.
3. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（）.
A. 0B.
C. 0或D. 0或
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】因为向量，，且与的夹角的余弦值为，
所以，
解得或.
故选：C.
4. 如图，某圆锥轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.
【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C.
5. 已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当时，的面积取最小值，求得，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值.
【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，
如图，
又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，
可得，，则，解得.
故选：B.
6. 已知直线与直线平行，则实数a的值为（）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
7. 已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解.
【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为.
而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
要使直线与线段有公共点，只需.
故选 ：C.
8. 从中任取一个实数，则直线被圆截得的弦长大于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线被圆截得的弦长大于2的等价条件，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．
【详解】解：由题知所给圆的圆心为坐标原点，半径为，
当弦长大于2时，圆心到直线的距离小于1，即，
所以，
故所求概率，
故选A．
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 在四面体ABCD中，E是棱BC的中点，且，则下列结论中不正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义，结合几何体用表示，即可确定x、y、z的值，进而判断各选项的正误.
【详解】
∵，
∴，，则，故A，B，D错误，C正确.
故选：ABD.
10. 如图，在正方体中，点在线段上移动，为棱的中点，则下列结论中正确的有（）
A. 平面
B. 的大小可以为
C. 直线与直线恒为异面直线
D. 存在实数，使得成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量的方法逐一计算各个选项.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，
设
所以又平面所以平面
的法向量为因为
所以所以平面故正确
对于B，当为的中点时
所以
所以
所以平面所以的大小可以为，故正确；
对于当为线段的中点时，直线与共面，故不正确
对于三点共线
故正确.
故选:ABD.
11. 在平面直角坐标系中，已知，是圆上的两个动点，满足，下列结论正确的是（）
A. 直线的倾斜角是
B. 直线的倾斜角是
C. 最大时，的面积是
D. 最大时，的面积是6
【答案】AD
【解析】
【分析】因为，则点在的垂直平分线上，所以，根据两直线垂直的斜率关系可求得.最长即为圆的直径，用两点间的距离公式计算，代入即可求得.
【详解】，在的垂直平分线上，又是圆的弦，圆心也在的垂直平分线上，则，，的斜率为，直线的倾斜角为.当过圆心，即为直径时，，此时的高为，且，
故选：AD
12. 已知直线l1：x+y﹣4＝0与圆心为M（0，1）且半径为3的圆相交于A，B两点，直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是（）
A. B. C. D. 9（）
【答案】BC
【解析】
【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．
【详解】根据题意，圆M的圆心为M（0，1）且半径为3，则圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝9，即x2+y2﹣2y﹣8＝0，
直线l1：x+y﹣4＝0与圆M相交于A，B两点，
则有，解可得：或，即A、B的坐标分别为（3，1），（0，4），
则|AB|＝＝3，且AB的中点为（，），
直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0，变形可得m（2x﹣3）+2y﹣5＝0，直线l2恒过定点（，）
设N（，），
当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，
此时CD的方程为y﹣＝x﹣，变形可得y＝x+1，经过点M（0，1），
则此时|CD|＝6，
故S四边形ACBD的最大值＝S△ACB+S△ADB＝×6×3＝9，
故S四边形ACBD≤9，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求得AB的中点与直线l2恒过定点是同一点，从而判断当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大．
Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）
13. 已知点，，，若，，三点共线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
14. 设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数的值.
【详解】因为，所以，所以，
所以，即.
故答案为：
15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马'问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点，再根据的值求最值.
【详解】设，则，的中点坐标为，
有因为，关于直线，
所以，解得，，
即，
故最短路径为，
故答案为：.
16. 已知圆C的圆心在y轴上，截直线所得弦长为8，且与直线相切，则圆C的方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆C的圆心为，半径为，分别求出圆心到直线和的距离，利用直线与圆的位置关系列出方程组，可得圆的方程．
【详解】设圆C圆心为，半径为
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为
则，即，解得
则圆C的方程为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查点线距公式，解决本题的关键点是直线与圆相交时，半径的平方与弦长一半的平方和圆心到直线的距离的平方和相等，并利用直线与相切，列出方程组，解出圆的标准方程，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，.
（1）若，分别求与的值；
（2）若，且与垂直，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平行关系可得，由此构造方程组求得结果；
（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得，由此得到.
【详解】（1）由得：，即，解得：；
（2），，
又，，即，
由得：，.
18. 如图，在三棱柱中，平面，且D为线段的中点.
（1）证明：；
（2）若到直线的距离为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可证得，理由勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）过B作于H，连接，易证，则，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
解：过B作于H，连接，
因为平面，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以，则，
因为，所以.
以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
同理可得平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
19. 已知直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1//l2，且他们的距离为，求m，n的值.
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）由垂直得斜率互为负倒数，可求得；
（2）由平行求得，再由距离求得．
【详解】（1）的斜率为，∵l1⊥l2，∴直线的斜率为，∴；
（2）∵，∴，（时两直线平行），
的方程化为，∴两平行间的距离为，解得．
【点睛】本题考查两直线垂直与平行的条件，考查两平行线间的距离公式，属于基础题．
20. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
【答案】（1）
（2）5，或
【解析】
【分析】（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；
（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.
【小问1详解】
解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．
联立，解得，
∴圆心坐标为，半径，
∴圆的方程为；
【小问2详解】
解：，要使最大，
则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
∵，
∴所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上所述，所在直线方程为或．
21. 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；
（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.
【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，
所以直线AB的方程为：，
圆心到直线AB的距离为，则，
所以；
（2）当弦被点平分时，AB与垂直，
因为，所以，
直线AB的点斜式方程为
即.
22. 已知直线与圆交于两点.
（1）求的斜率的取值范围；
（2）若为坐标原点，直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）是定值，详见解析
【解析】
【分析】（1）变换得到，得到直线过点，设，利用直线和圆的位置关系得到，计算得到答案.
（2）联立，根据韦达定理得到，计算，化简计算得到答案.
【详解】（1）由，可得.
由，解得，所以恒过定点.
故可设的方程为，即.
由已知可得圆的标准方程为，圆心，半径，
则由直线与圆相交，可得.
解得，所以的斜率的取值范围为.
（2）是定值
联立，消去，整理得.
设，，由韦达定理得，
则
为定值.
【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生计算能力.