人教B版（2019）高中数学必修第四册 第九章 解三角形 章末重点题型复习（原卷+解析卷）

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第九章：解三角形章末重点题型复习 题型一 正余弦定理解三角形【例1】（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若A=2B,a=22,b=2，则c=（    ）A．2 B．2 C．22 D．23【变式1-1】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,B=105∘,C=45∘，则c=（    ）A．1 B．2 C．2 D．3【变式1-2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，a=23,b=2,B=π6，则A=（   ）A．π3 B．π6或5π6 C．2π3 D．π3或2π3【变式1-3】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=7,B=5π6,c=3，则a=（    ）A．2 B．3 C．2 D．1【变式1-4】（2024·江西赣州·一模）在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120∘，则sinA=（    ）A．714 B．2114 C．5714 D．32114题型二 正余弦定理的边角互化【例2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=2a−ccosB，b=3，a+c=4，则ac=（    ）A．3 B．73 C．25 D．8【变式2-1】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−3c)，则A=（    ）A．90° B．30° C．60° D．150°【变式2-2】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c=23b，sin2A−sin2B=3sinBsinC，则A的值为（    ）A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6【变式2-3】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知acosB=bsinA．则角B= ；若a=2,c=3，则b的值为 【变式2-4】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）在△ABC中，若a2+c2=b2−3ac，则∠B= ．题型三 三角形形状问题【例3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在△ABC中，若asinB=3bcosA，且sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【变式3-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a+b=2ccosB，且sinA+sinB=1，则△ABC的形状为（    ）A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形C．顶角为150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形【变式3-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若2acos2B2=c+a，则△ABC的形状为（    ）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【变式3-3】（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式3-4】（23-24高一下·上海·阶段练习）在△ABC中，a⋅cosπ2−A=b⋅cosπ2−B，则△ABC的形状是 ．题型四 三角形周长问题【例4】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB−asinA=b−csinC．若△ABC的面积S△ABC=2534，且a=5，则△ABC的周长为（    ）A．15+53 B．15 C．5+53 D．10+53【变式4-1】（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面积为1543，则△ABC的周长为（  ）A．15 B．12 C．16 D．20【变式4-2】（23-24高三上·湖南娄底·阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，△ABC的面积为3，且2bcosA=2c−a，a+c=4，则△ABC的周长为 .【变式4-3】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinB−asinA=b−csinC.(1)求A；(2)若a=4，求△ABC周长的取值范围.【变式4-4】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且ca=sinA+2sinBcosA2sinA．(1)求B的大小；(2)若b=22，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．题型五 三角形面积问题【例5】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，AB=5，AC=42，cosA=210，H是△ABC的垂心，若HP=xHB+yHC，其中x，y∈0,1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（    ）A．21 B．14 C．212 D．7【变式5-1】（23-24高一下·广西百色·阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+csinC−2asinC=bsinB．(1)求B；(2)若点D在AC上，满足AD=3DC,BD=23，求△ABC面积的最大值．【变式5-2】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2asinC=3c.(1)求角A的大小；(2)若b=2,a=7，求△ABC的面积.【变式5-3】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）以C为钝角的△ABC中，BC=3.(1)若BA=3BM，且CM=2，cos∠ACB=−13，求CM⋅CB(2)若BA⋅BC=12，当角A最大时，求△ABC的面积【变式5-4】（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平面四边形ABCD中（B,D在AC的两侧），AD=CD=1,∠ADC=120∘.(1)若∠DAB=90∘,BC=322，求∠ABC；(2)若AB=2BC，求四边形ABCD的面积的最大值.题型六 三角形个数问题【例6】（2023高三上·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a=3，b=2，则此三角形的解的情况是（      ）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【变式6-1】（23-24高三上·北京顺义·期中）在△ABC中，∠A=60°，a=5，b=6，满足条件的△ABC（    ）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在【变式6-2】(多选)（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在△ABC中，AB=16，A=44°，BC=a（a为常数），若满足条件的三角形有且仅有两个，则a的取值可能为（    ）A．7 B．14 C．15 D．16【变式6-3】（多选）（23-24高一下·重庆·阶段练习）满足下列条件的三角形有两个解的是（    ）A．c=54，b=39，C=120° B．b=11，a=20，B=30°C．a=2，b=6，A=30° D．b=26，c=15，C=30°【变式6-4】（2024高一·上海·专题练习）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=30°，a=3，若这个三角形有两解，则b的取值范围是 题型七 中线问题【例7】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABC的面积S为(    )A．394 B．234 C．392 D．232【变式7-1】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图．在锐角△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=368，cos∠ADC=−14．  (1)求AB边的长；(2)求△ABC的面积．【变式7-2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，满足c+3asinB−b−acosB=0．(1)求A；(2)若a=219，边BC上的中线AD=7，设点O为△ABC的外接圆圆心．①求△ABC的周长和面积：②求AO⋅AD的值．【变式7-3】（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，b=8，角C为锐角，已知△ABC的面积为47.(1)求c；(2)若CD为AB上的中线，求∠BDC的余弦值.【变式7-4】（23-24高三下·北京·开学考试）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a=2，bsinB+csinC−2sinA=bsinC．(1)求A的大小；(2)已知AD是△ABC的中线，求AD的最大值．题型八 角平分线问题【例8】（23-24高二上·浙江杭州·期中）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知cacosB+bcosA=2cosC.(1)求角C；(2)若CD是∠ACB的角平分线，且CD=433，c=23，求△ABC的面积【变式8-1】（23-24高二下·河南信阳·开学考试）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA⋅a+12c+sinC⋅c+12a=sinB⋅b．(1)求角B；(2)设D是边AC上一点，BD为角平分线且AD=2DC，求cosA的值．【变式8-2】（22-23高一下·浙江台州·阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6sinBsinC=1−cos2C，AD为∠BAC的角平分线．(1)求S△ABDS△ADC的值；(2)若AC=3,BD=33，求AD的长．【变式8-3】（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=2,∠BAC的角平分线AD交BC于点D．  (1)若b=1,∠BAC=60°，求AD的长度；(2)若△ABC为锐角三角形，且2ab=1+tanCtanB,∠ABC的角平分线BE交AC于点E，且与AD交于点O，求△AOB周长的取值范围．【变式8-4】（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在BC上，AD=2(1)若AD⊥AC，cosC=2sinB，求c；(2)若AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=2π3，求△ABC周长的最小值．题型九 高线问题【例9】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(1)若a=2,c=6,C=π3，解三角形：(2)若角C=π3且a+b=7,△ABC的外接圆半径为433．①求△ABC的面积；②求△ABC边AB上的高ℎ．【变式9-1】（23-24高三下·河南·开学考试）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足a+b+csinA+sinB+sinC=103asinB+2csinA+2b+csinC．(1)求cosC；(2)若AB边上的高为2,c=5，求a,b．【变式9-2】（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=7,c=5,cosB=17．(1)求b的值；(2)求AC边上的高．【变式9-3】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C满足sin2A+2sinBsinC=sin2B+sin2C．(1)求tanA；(2)若AB边上的高等于13AB，求sinC．【变式9-4】（22-23高一下·江苏徐州·阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，b=3，cosC=−14．(1)求△ABC的边c；(2)求AB边上的高．题型十 多三角形问题【例10】（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6．  (1)若A=2π3，C=π3，求sin∠BDC的值；(2)若CD=2，cosA=3cosC，求四边形ABCD的面积．【变式10-1】（2024·陕西宝鸡·二模）△ABC中，D为BC边的中点，AD=1.(1)若△ABC的面积为23，且∠ADC=2π3，求sinC的值；(2)若BC=4，求cos∠BAC的取值范围．【变式10-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图所示，在△ABC中，A=π6，BC=7，D、E分别是边AB、AC上的点（不与端点重合），且DE=7．再从条件①、条件②、条件③条件①：AB=33；条件②：cosB=2114；条件③：CE=4．中选择两个使得三角形存在且解唯一，并求：(1)sinC的值；(2)BE的长度；(3)四边形BCED的面积．【变式10-3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+3asinC=b+c．  (1)求∠A的大小；(2)若BD=AC=58AB，且△ABC的面积为203，求CD的长度；(3)若△ABC为锐角三角形，b=2，求△ABC的面积的取值范围．【变式10-4】（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在△ABC中，∠BAC=π3，满足AD=3DB.  (1)若∠B=π3，求∠ACD的余弦值；(2)点M是线段CD上一点，且满足AM=mAC+12AB，若△ABC的面积为3，求AM的最小值.题型十一 正余弦定理与实际应用【例11】（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中AB=5千米，AD=2千米，△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设∠BAD=θ，θ∈π2,π．(1)当sinθ=255时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．【变式11-1】（23-24高一下·河北廊坊·阶段练习）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.  (1)求点D到塔底B的距离BD；(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB.【变式11-2】(23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量得cosA=1213，sinB=6365．  (1)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【变式11-3】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为O,A,B两点为稻草人，C为该圆形菜地边缘上任意一点，要求O为AB的中点.(1)若∠OBC=π6,sin∠BCO=14，求OA；(2)设y=CA2+CB2,OA=a，试将y表示为a的函数；(3)若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点C处观察稻草人时，观察角度∠ACB的最大值不小于π3，试求A,B两个稻草人之间的距离的最小值.【变式11-4】（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）海宁一中高一生劳课上，朱老师组织学生在寝室楼下的荒地上种菜.如图，在一条直路边上有相距103米的A、B两定点，路的一侧是荒地，朱老师用三块长度均为10米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块ABCD（直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块ABD和三角形地块BCD分别种植青菜、萝卜两种作物.已知两种作物的收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为k，即收益W=kS△ABD2+S△BCD2，设∠DAB=α.  (1)当α=60°时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，朱老师准备了15米的篱笆. 请问是否够用，并说明理由.(2)求使两块地的总收益最大时，角α的余弦值.题型十二 取值范围最值问题【例12】（2024·黑龙江·二模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且c−b=2bcosA，则ab的取值范围为（    ）A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．1,2【变式12-1】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角△ABC中，若cosAa+cosCc=sinBsinC3sinA，且3sinC+cosC=2，则a+b的取值范围是 .【变式12-2】（2024高三·广东·专题练习）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是 .【变式12-3】（2012高一·全国·竞赛）在△ABC中，AB=1,∠C=π6，则AC+BC的最大值是 ．【变式12-4】（22-23高三上·浙江丽水·期末）已知锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinB−csinC=b−asinA.(1)求C；(2)若c=3，求a−b的范围.