江苏省启东中学2024−2025学年高二上学期期初反馈检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省启东中学2024−2025学年高二上学期期初反馈检测 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则（ ）
A．32B．C．D．
2．过点且与直线平行的直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，其中，则（ ）
A．B．C．D．
4．在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A．B．
C．D．
7．点P在直线上运动，，则的最大值是（ ）
A．B．C．3D．4
8．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是

A．是正三棱锥
B．直线∥平面ACD
C．直线与所成的角是
D．二面角为.
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使，则与共面
B．若与共面，则存在实数x，y，使
C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面
D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使
10．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
11．已知、分别为棱长为2的正方体棱、上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为2
B．三棱锥的外接球体积的最大值为
C．直线与直线所成角的余弦值的范围为
D．当、为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，且，那么是 三角形
13．如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为 .
14．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ；的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知点，，，求：
(1)边上的高所在直线方程；
(2)的外心坐标；
(3)的面积．
16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
(1)求b的值；
(2)求的值.
17．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中．
(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(2)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
18．已知点，直线
（1）求点M关于点对称点N的坐标
（2）求点M关于直线的对称点Q的坐标.
（3）已知点，点P在直线上，问使取得最小值时P点的坐标与使取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由.
19．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，点F在棱PA上.

(1)求证：平面CDE；
(2)求直线BP与平面PEC所成角的正弦值；
(3)若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解.
【详解】由可得，所以，
故选：C
2．【答案】A
【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
将点代入得，解得，
所以所求直线的方程为.
故选：A.
3．【答案】C
【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，其中，则，可得，
又因为，所以．
故选：C.
4．【答案】C
【分析】利用，可求有两个零点的的范围，进而可求概率.
【详解】因为函数存在两个不同零点，
所以有两个不同的根，
所以，解得或，
在区间上任取一个整数，共有16种取法，
能使使函数存在两个不同零点的取法有13种，
所以使函数存在两个不同零点的概率为.
故选：C.
5．【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可.
【详解】因为直线l：与直线关于直线对称，
所以在方程中，用代，以代，得，
化简，得，
故选：A
6．【答案】A
【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.
【详解】∵，且空间向量满足，
∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.
故选A.
7．【答案】A
【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.
【详解】设关于的对称点为，
则，解得，即
故,
,
当且仅当，三点共线时，等号成立.
故选：A
8．【答案】B
【详解】试题分析：由正四面体的性质知是等边三角形，且两两垂直，所以A正确；借助正方体思考，把正四面体放入正方体，很显然直线与平面不平行，B错误.
考点：正四面体的性质、转化思想的运用.
9．【答案】AC
【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可.
【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，若存在实数x，y，使，则与共面，所以A正确；
选项B，若向量与共面，如果共线，不一定有，
只有与不共线时，可以作为一组基底，
存在唯一确定的有序实数对，使任意向量，所以B错误；
选项C，根据共面向量基本定理可知，共面，
由于它们有公共点，所以M，P，A，B共面，所以C正确；
选项D，若共线，不与共线，
则不存在实数x，y，使，所以D错误.
故选：AC
10．【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
11．【答案】ABC
【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；根据空间两点间距离公式可判断选项A；先求出该正方体外接球的体积；再根据点为棱上的动点，点在正方体外接球内运动，即可确定三棱锥外接球体积的最大值，可判断选项B；利用空间直线与直线所成角的向量计算方法表示出直线与直线所成角的余弦值，再分两种情况，求出每种情况下的取值范围即可判断选项C；先根据确定平面的依据判断截面形状，进而求出面积即可判断选项D.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

因为正方体的棱长为2.
则A0,0,0， ，，，，，，.
所以，，，.
因为、分别为棱、上的动点，令，.
所以，.
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立.
所以线段长度的最小值为2，故选项A正确；
对于选项B：由正方体的性质可得三角形为边长为的正三角形，.
所以该正方体的外接球球心为正方体的中心，球半径为，外接球体积的为.
因为点为棱上的动点，
所以点在正方体外接球内运动.
故正方体外接球的体积就是三棱锥外接球体积的最大值，为，此时点与点（或点）重合.故选项B正确；
对于选项C：因为，，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
当时，.
当时，有，，
因为当时，，
则.
所以直线与直线所成角的余弦值的范围为，故选项C正确；
对于选项D：

取中点，连接，，，.
因为正方体棱长为2
则，，，.
当、为中点时，，
所以平面截正方体所形成的图形为梯形.
因为在等腰梯形中，梯形的高为.
所以截面面积为，故选项D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间线线、线面的位置关系，几何体外接球及截面问题，属于难题.解题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，利用对于空间两点间距离公式和直线与直线所成角的向量计算方法可判断选项A、C；对于选项B，关键在于根据点为棱上的动点判断点在正方体外接球内运动，正方体外接球的体积就是三棱锥的外接球体积的最大值；对于选项D，关键在于根据确定平面的依据判断截面形状.
12．【答案】等边三角形
【解析】根据余弦定理得到，再根据正弦定理结合余弦定理得到，得到答案.
【详解】由题设可得，故，故，
根据正弦定理得到：，故，即，即，
即该三角形是等边三角形．
故答案为：等边三角形.
【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.
13．【答案】，，
【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a的值.
【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；
如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，
①是过另外两条直线的交点，
由和的交点是，代入解得：
；
②是这条直线与另外两条直线平行，
当和平行，只需，解得；
当和平行，只需此时.
综上，的取值集合是，，.
故答案为：，，.
【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:
(1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行；
(2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行；
(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1.
14．【答案】 /
【分析】根据直线方程确定，利用勾股定理得到，结合基本不等式即可求出的最大值，再利用三角函数即可求出的最大值.
【详解】可以转化为，故直线恒过定点A2,1，
：，即，恒过定点B，
由 和 ：，满足 ，
所以 , 可得 ,
所以 ,
且，故，当且仅当时，等号成立；
因为，设为锐角，则，
所以，
所以当 时, 取最大值 .
故答案为：；
15．【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）首先求出直线的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出边上的高线的斜率，由高线过，即可得出边上的高所在直线方程；
（2）分别求出边的垂直平分线，联立即可得出的外心坐标；
（3）先写出直线的方程，由点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再由两点之间的距离公式求出边的长，由三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）由，得，，
所以边上的高线的斜率为，且高线过点，
所以边上的高线的直线方程为：，即．
（2）由，得，，边的中点为，即，
所以边的垂直平分线的直线方程为：，即；
由，，得，边的中点为，
所以边的垂直平分线的直线方程为：，即，
由，得，
所以的外心坐标为．
（3）由（1）知，，则直线的方程为：，即，
边上的高为：，
，
所以．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理可得，结合余弦定理可得的值；
（2）借助正弦定理及同角三角函数关系得，由余弦定理得，再代入二倍角公式和两角和的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由结合正弦定理可得：，即，所以，
由及余弦定理可得；
（2）由得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
，
所以
.
17．【答案】(1)平均数的估计值为万元，中位数的估计值为万元；
(2)．
【分析】（1）由于，利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率对应的值即为中位数；
（2）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型计算公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，因为，结合频率分布直方图中的平均数的计算公式，
可得数据的平均数的估计值为：
万元，
因为，则中位数在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以中位数的估计值为万元．
（2）解：从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，
则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，
购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，
则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况，
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，
所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
18．【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．
【分析】（1）由是的中点可求得点坐标；
（2）由与直线垂直且的中点在直线上可求得点坐标；
（3）设出点坐标为，表示出和，然后求最小值即可得利结论．
【详解】（1）设，则，则，∴．
（2）设，则，解得，即．
（3）两点坐标不相同．证明如下：
由题意，设，
则，显然当时，取得最小值，，此时
由（2），当是与直线的交点时，等号成立，
，直线的方程为，代入的方程解得，，即．
两个点不相同．
【点睛】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M关于点对称点N，则是线段的中点，点M关于直线的对称点Q，则，的中点在直线上．在直线的同一侧，求直线上一点使最小，一般是求出点关于直线的对称点的坐标，而使最小的点就是与直线的交点．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明平面平面CDE，利用面面平行的性质可证得平面CDE；
（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求值即可；
（3）设，则，利用空间向量法可得出关于t的方程，结合t的范围可求得t的值.
【详解】（1）在矩形ABCD中，，
因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE.
又因为平面PAB，平面PAB，，所以平面平面CDE.
因为平面PAB，所以平面CDE.
（2）
因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，又因为ABCD是矩形，，
所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则、、，
所以，
设平面PEC的一个法向量为n=x,y,z，则 ，
取，可得，
设直线BP与平面PEC所成角为θ，所以.
（3）设，，则，所以，
因为点F到平面PCE的距离，
因为，解得，故.