湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第二阶段测试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第二阶段测试 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了若数列满足，且，则，已知曲线在点处的切线方程为，则，已知，，，则，已知定义在上的奇函数满足，已知函数，若过点等内容，欢迎下载使用。
数学
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若数列满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
3．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．对任意正数，D．对任意正数，
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆上存在两点，关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．1B．8C．2D．4
6．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种B．150种C．180种D．300种
7．已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于(在第一象限)，两点，，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ）
A．甲、乙两组成绩的平均分相等B．甲、乙两组成绩的中位数相等
C．甲、乙两组成绩的极差相等D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
10．已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．设正整数，其中.记，当时，，则（ ）
A．
B．
C．数列为等差数列
D．
12．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在的展开式中，项的系数为 ．
14．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则 ．
15．如图，由到的电路中有4个元件，分别为，，，，若，，，能正常工作的概率都是，记“到的电路是通路”，求 .
16．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为 .
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
18．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保留一位小数）参考数据：，.
附：相关系数公式：，
回归直线方程的斜率，截距.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
20．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
21．某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列;
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才可以确定为“感染高危户”率为，若该家庭被确定为“感染高危户”，且当时，最大，求的值.
22．已知函数．
（1）若函数在上有极值，求的取值范围及该极值；
（2）求使对任意恒成立的自然数的取值集合．
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
1．A
【分析】令可得，再令可得数列是首项和公比为的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可.
【详解】令，，
令，则，所以，
所以数列是首项和公比为的等比数列，
所以
.
故选：A.
2．D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
3．C
【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.
【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，所以，故A错误；
B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，所以，故B错误；
CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：
对任意正数，．,故C正确，D错误．
故选：C．
4．B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】解：，，，故．
故选：B
5．D
【分析】因为圆心为.由题意知直线过圆心，将圆心代入直线方程求得，然后利用基本不等式求得最值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为.由题意知直线过圆心，所以，即.因为，
所以，当，即时取等.
故选：D.
6．B
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
7．D
【分析】本题需要根据已知条件，在焦点三角形中运用余弦定理，建立与的方程，进而算出离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为，则为平行四边形，所以
因为，所以
又，所以，
因为，所以，在中运用余弦定理有
，得，故离心率
故选：D.
【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、得到a，c的关系．
8．A
【分析】由是上的奇函数，并结合当时，，可得的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为对任意恒成立，进而可求得实数m的取值范围.
【详解】由题意知，时，，则，
因为是上的奇函数，所以，
所以当时，.
因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，
由，可得，即对任意恒成立，
当时，不等式可化为，显然不符合题意，
所以，可得，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.
9．BCD
【解析】根据条形统计图计算出甲、乙两组成绩的平均分、中位数、极差与方差，进而可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，甲组成绩的平均数为，
乙组成绩的平均分为，
所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，A选项错误；
对于B选项，甲、乙两组成绩的中位数都为，B选项正确；
对于C选项，甲、乙两组成绩的极差都为，C选项正确；
对于D选项，甲组成绩的方差为，
乙组成绩的方差为，
所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，D选项正确.
故选：BCD.
10．ABC
【分析】由题意先设出切点，写出切线方程，代入点,得到一个含参数的方程，通过参变分离法，转化成一个函数的图象与直线有三个交点的问题，只需要研究函数的图象性质即可.
【详解】由题知，设切点为，则切线方程为，
将，代入得；
令，则，
或时，,为增函数；时，，为减函数，
的极大值为，极小值为，如图.

结合图象，依题意可知，，又为整数，.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】分别表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差数列的定义可求解C，根据可求解D.
【详解】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，
所以，所以，A项正确；，，B项错误；
当时，，
当时，
，
当时也符合，所以，所以，
所以，
所以数列为等差数列，C项正确；，
，D项正确.
故选:ACD.
12．BD
【解析】先分析得到在上单调递增，得到，由于二次函数不是单调函数， 不一定成立，所以选项A错误；，所以选项B正确；由于函数，不是单调函数，所以不一定成立.所以选项C错误；因为函数，函数在上单调递增，所以选项D正确.
【详解】因为，所以在上单调递增，
由可得，所以，所以选项B正确；
又因为函数，函数在上单调递增，所以，所以选项D正确；
由于二次函数不是单调函数，所以当时，不一定成立，所以选项A错误；
由于函数，不是单调函数，所以当时，不一定成立.所以选项C错误.
故选：BD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到利用导数分析得到函数的单调性，研究函数的问题，一般先要通过探究函数的奇偶性、单调性和周期性等，再求解函数问题.
13．40
【分析】由题意利用排列组合的性质可得项的系数.
【详解】由题中的多项式可知，若出现，可能的组合只有：和，
结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得系数为：
.
【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.
14．3
【分析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．
【详解】解：函数是奇函数，且满足，，
，
即，则，
即函数是周期为6的周期函数，
由数列满足且 ，
则，
即，
则，
则，．，
等式两边同时相乘得，
即，即，
即数列的通项公式为，
则，
是奇函数，，
，，，
所以
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
15．
【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”
由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即
，
由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，
可得
故答案为：
16．
【分析】先讨论m的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，

则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，
因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用m，n的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
17．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
18．(1)，线性相关程度较高
(2)回归直线方程为；至少投资亿元
【分析】（1）通过计算相关系数来进行判断.
（2）先计算回归直线方程，并由此作出预测.
【详解】（1），
，
，，
所以，所以线性相关程度较高.
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，由，
得，所以至少投资亿元.
19．(1)
(2)不存在的值，理由见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）假设存在的值，使得，依题意可得、是方程的两不等实数解，利用韦达定理得到且，不妨令，则，即可表示出，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】（1）由题意得：函数的导函数.
当时，，，即是切点为，
所以曲线在处的切线方程是，即；
（2）不存在的值.
假设存在的值，使得，
易知：、是方程的两不等实数解，即且，
不妨令，则，
因为，所以由得，
令，而恒成立.
所以在上单调递增，即，
所以当时，恒成立，即无解.
所以不存在的值，使得.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
21．(1)答案见解析；
(2)
【分析】
（1）分别求出两类试剂和检测合格的概率，再求出所有可能取值的概率即可得分布列；
（2）根据题意可得，利用换元法构造函数解析式根据由基本不等式即可求出最大时的的值.
【详解】（1）根据题意可知，试剂检测合格的概率为，试剂检测合格的概率为；
易知的所有可能取值为；
，
，
，
所以的分布列为
（2）根据题意可知，检测3个人可以确定为“感染高危户”的概率为，
检测4个人可以确定为“感染高危户”的概率为；
所以可得，
令，所以，
则可化为，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为；
此时，即.
22．（1），；（2）.
【分析】（1）利用导数的正负确定函数的单调性，由函数的极值点的定义列出关于的不等关系，求出的范围，同时确定函数的极小值；
（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围，求解即可得到答案．
【详解】解：（1）函数函数，则，由，解得；由，解得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上有极值，所以得．
．
（2）因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立．
令，则．
令，则，
因为，所以，所以在上为增函数．
因为，，
所以存在，使．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，
于是恒成立．
因为，所以，则，
故自然数的取值集合为．
0
1
2