河南省焦作市第十二中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省焦作市第十二中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分数是（ ）
A．6B．5.25C．5D．5.5
2．直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是( )
A．B．C．D．或
4．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或－1
5．已知在平面直角坐标系中，点在角终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．判断圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切
C．外切D．内含
7．已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（ ）
A．或B．或
C．D．
8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．设，，是三个空间向量，则
D．若与共面，与共面，则任意，与共面
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为18
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
11．设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，，则当且仅当时，是互斥事件
B．若，，则是必然事件
C．若，，则时是独立事件
D．若，且，则是独立事件
12．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大面积为
B．若直线的斜率为，则
C．存在点P使得
D．的最大值为5
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．直线被圆C：截得的弦长为 .
14．如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 .

15．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 .
16．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是 .

四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)求圆关于直线对称的圆的方程.
18．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C；
(2)若，，求的面积.
19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点．

(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
20．已知椭圆C关于x轴，y轴都对称，并且经过两点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l经过椭圆C的左焦点且垂直于椭圆的长轴，与椭圆C交于D，E两点，求的面积．
21．在平面内，，，C为动点，若，
(1)求点C的轨迹方程；
(2)已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.
22．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MNC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由
1．B
【分析】
根据百分位数的定义运算求解.
【详解】因为，所以第75百分数是第6位数和第7位数的平均数，即为.
故选：B.
2．B
【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案．
【详解】解：因为的斜率，
结合选项可知直线的一个方向向量为．
故选：．
3．C
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【详解】，
与、不能构成空间基底；
故选：C．
4．C
【详解】试题分析：两直线互相垂直，满足，整理为，解得或，故选C.
考点：直线的位置关系
5．B
【分析】利用三角函数的定义及诱导公式，结合同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】由题意可得，
所以原式.
故选：B.
6．B
【分析】
根据圆的一般式方程分别求出两圆的圆心、半径及圆心距，再判断圆心距与两圆的半径和(差)之间的关系即可得结论.
【详解】解：因为圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
圆心距为，
所以两圆内切.
故选：B.
7．A
【分析】讨论、，结合离心率求出对应焦距.
【详解】若，则，解得，则，所以焦距是；

若，则，解得，则，所以焦距是.

故选：A
8．C
【详解】如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
9．CD
【分析】
对于A：举特例，理解判断即可；对于BD：根据题意结合共面向量的定义与性质分析判断；对于C：根据数量积的分配律分析判断.
【详解】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量，
显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误；
对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移，
可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确；
对于选项D：对任意，可知与、共面，
若、与共面，所以与共面，故D正确；
故选：CD.
10．BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1
【详解】A：将一般式配方可得：，A错；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为，B对；
C：由题意，，所以圆C与圆外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，d表示圆心与直线的距离，
，则，解之: ，D错；
故选：BC.
11．ACD
【分析】
根据互斥事件，独立事件和必然事件的定义逐个分析判断
【详解】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，
而此时不是必然事件，所以B错误，
对于C，因为，，，，
所以，得，
所以，所以是独立事件，所以C正确，
对于D，因为，所以，
因为， ，所以，
所以是独立事件，则也是独立事件，所以D正确，
故选：ACD
12．BD
【分析】当P为椭圆短轴顶点时的面积最大，即可判断A；利用两点求斜率公式计算化简即可判断B；当P为椭圆短轴顶点时为最大，利用余弦定理计算即可判断C；根据椭圆的定义可得，求出即可判断D.
【详解】对A，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，
且最大面积为：，故A错误；
对B，由椭圆，得，设，
则，又，则，
所以，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，
即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
13．
【分析】首先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式.
【详解】圆，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故答案为：
14．0.672##
【分析】
根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案.
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为：.
15．
【分析】
方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故答案为：
16．
【分析】
求出圆锥部分的母线，利用圆锥以及圆柱的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知圆锥的母线长为，
故陀螺的表面积为，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】
（1）设圆心为，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，且，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆方程；
（2）设圆心关于直线的对称点为，根据连线与直线垂直、中点在直线上可构造方程组求得点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程.
【详解】（1）由题意可设圆的圆心为，
圆与直线相切，且过点，
，解得：，圆心，
半径，圆的方程为：.
（2）设圆心关于直线对称的点为，
则，解得：，即，
圆关于直线对称的圆的方程为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）对条件变形，利用余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理求解，利用余弦定理求出，代入面积公式即可求解.
【详解】（1）由，得，所以，
结合余弦定理可知，而，所以.
（2）由正弦定理可得，解得，
又由余弦定理可得，即，
解得，或，而，所以，
所以的面积.
19．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论；
（2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解．
【详解】（1）连接，
在菱形中，，，所以，
在中，，，所以，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为四边形是菱形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．

（2）记，连接，
由点是棱的中点，且点是的中点，所以，
又由（1）知平面，所以平面，
则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

所以，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，解得，，
所以平面的一个法向量为，
因为是的中点，且，
所以，
所以，
又，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，解得，，
所以平面的一个法向量为，
由图可知平面与平面所成角为锐角，
所以，
故平面与平面所成角的余弦值为．
20．(1)；
(2).
【分析】（1）设出椭圆方程，代入点的坐标，求出椭圆方程；
（2）在第一问的基础上，得到D､E两点的坐标，从而求出三角形的面积.
【详解】（1）依题意，设椭圆方程为：，
则有，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，直线l的方程为：，
将代入中，解得：，不妨设，
则，而点到直线的距离为，
所以的面积.
21．(1)
(2)
【分析】
(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.
(2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.
【详解】（1）
设，，，
，
得.
（2）
，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.
故最短弦长为.
22．(1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN．
【分析】（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；
（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．
【详解】（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB．
∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，
∴AB⊥面PMC，
∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．
∴PM⊥面ABCD，
∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．
PM，MD，PD
sin∠PMD，
即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，
则有面PBD∩面MNC＝NE，
∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．
∴．
线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N的位置是关键，属于中档题．．