安徽省A10联盟2024−2025学年高二上学期9月初开学摸底考 数学（B卷）试题（含解析）

这是一份安徽省A10联盟2024−2025学年高二上学期9月初开学摸底考 数学（B卷）试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．90
4．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．
5．已知，，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．3D．2
6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为1
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1
10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．当时，的值域为
D．若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为
11．如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）

A．当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B．当在直线上运动时，与所成角的取值范围为
C．使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为
D．若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若，则 ．
13．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米
14．已知是球O的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球O的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.
(1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.
(2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
16．已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围．
17．如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．

(1)如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
(2)如图3，设点在平面内的射影落在线段上．
①求证：平面；
②当时，求直线与平面所成的角的余弦值．
18．设函数，．
(1)判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
(2)求证：；
(3)若在区间上的最小值为，求的值．
19．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”．
(1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；
(2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据一元二次不等式化简集合或，即可利用集合的补集以及交集定义求解.
【详解】由可得或，
故，
故，
故选：C.
2．【答案】A
【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.
【详解】由可得，
由可得或，
故能得到，同时也无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．【答案】B
【分析】根据样本数据百分位数的定义求解即可.
【详解】将数据从小到大排序得，
因为，
所以第75百分位数是．
故选：B．
4．【答案】C
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；
事件B含有的基本事件有8个：，
其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
故选：C
5．【答案】C
【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值.
【详解】，
即，
，故，
则，
由于，故，
解得或，
因为，所以，故，
即，解得.
故选：C
6．【答案】A
【分析】根据在上的投影向量得到方程，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为，所以，
在上的投影向量为，故，故，
所以，
则在上的投影向量为.
故选：A
7．【答案】C
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为与的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可．
【详解】令，则故，令，则或，
由解析式知：在上递减且值域，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．
作出的草图如下，
令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
则，
由对勾函数可知在上递减，故
故
故选：C
8．【答案】D
【分析】设，则，又，由三角形面积公式得到方程，求出，在和中，利用余弦定理得到，，在中，由余弦定理得，利用正弦定理求出外接圆半径.
【详解】设，则，
因为，所以，
由三角形面积公式得，
解得，
在中，由余弦定理得
，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
在中，由余弦定理得，
故，
则的外接圆半径为.
故选：D
9．【答案】AC
【分析】A选项，根据题意得到，得到虚部；B选项，求出，故对应的点坐标为，得到B错误；C选项，计算出，故C正确；D选项，计算出，，则，故，得到面积最大值为.
【详解】A选项，，故的虚部为1，A正确；
B选项，，
故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误；
C选项，，
故，C正确；
D选项，若，，
故，，
则，故，
当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误.
故选：AC
10．【答案】BCD
【分析】根据三角恒等变换化简，即可利用平移以及奇函数的性质求解，由周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD.
【详解】由，
得，
故，
由于为奇函数，故，
由于，故取，则，
故，
对于A，最小正周期为，A错误，
对于B，由于，故B正确，
对于C，当时，则，故，故的值域为1,2，C正确，
对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确，

故选：BCD
11．【答案】ACD
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据找到异面直线所成角为与所成的角，即可判断；C选项，找到的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，计算即可；D选项，利用中点得线线平行,即可找到的轨迹，计算即可．
【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时,又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角，
当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为，
当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误；

对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则,故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确；

分别取、、、、的中点、、、、，
由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②,
由中位线定理，，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，平面，
所以平面平面，
在底面内运动,所以轨迹为线段，
取中点，连接,则平面，
故
故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时,故最小为，D正确．

故选：ACD．
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
12．【答案】/-0.75
【分析】根据向量的加减法运算，用基底表示，再根据平面向量基本定理确定的值.
【详解】

由，
则，
因此
故答案为：
13．【答案】
【分析】由条件列出及的关系，结合，求出，由此可得结论.
【详解】因为，所以，
所以，， 又，
所以，
所以，
所以，
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米），
故答案为：.
14．【答案】
【分析】取中点，则易得，根据已知可确定为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，从而球心在的中点，然后结合勾股定理求出，进而可求．
【详解】取中点，由于，，
故,则四边形为平行四边形，
故，同理可得，故，
故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，

则四边形为矩形，故球心在的中点，设球的半径，
，
根据球的性质得，，故，
故表面积为．
故答案为：．
15．【答案】(1)平均值为，第百分位数为；
(2)总样本的平均数为，方差为.
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，进而即可求出平均数；先确定60%分位数的位置，再由频率分布直方图求值；
（2）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.
【详解】（1）由题意知，，所以，
所以满意度得分的平均值为，
因为，，
所以第百分位数位于第三个区间内，
所以第百分位数为分.
（2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，
把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，
则总样本平均数，
由方差的定义，样本总方差为：
所以，
所以总样本的平均数为，方差为.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得正确答案.
（2）将转化为来表示，再根据三角函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）由正弦定理得，
则，
所以，
即，
由于，所以，所以，
则，，由于，
所以.
（2）若，由正弦定理得，
所以，
所以三角形的周长为
，
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以三角形周长的取值范围是.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）设是线段的中点，根据线线平行可得四边形是平行四边形，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）①根据线面垂直的性质可得，结合矩形性质，即可由线面垂直的判定求证，
②根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解.
【详解】（1）证明：如图，取是线段的中点，连接，，
因为点是线段的中点，所以，，
因为，，所以，，
即四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；

（2）①由题意可知平面，平面，故，
又平面，故平面
②由于平面，故为直线与平面所成的角，
，，故,
,
则，故
故直线与平面所成的角的余弦值为

18．【答案】(1)奇函数，上单调递增
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性，利用单调性的性质判的单调性；
（2）求和即可证明；
（3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解.
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数；
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，在上单调递增；
（2）因为，
，
所以可得；
（3）由，
令，由，则，
又，则令，
对称轴，
当，即时，，
解得，
当，即时，，
解得，又，因此不符合题意，
当，即时，，
解得，
综上知，
【点睛】方法点睛：
1.函数最值与值域的求法：单调性法；不等式法；配方法；换元法；数形结合法；分离常数法；导数法.
2.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
19．【答案】(1)
(2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案；
（2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，.
【详解】（1），
其中.
（2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下：
，
只需，则，
即，整理得，
因为，，
所以，，，
则，
所以，则，
所以，
即，
整理得，故，
因为，所以，，
则，，
检验，将，代入得
，满足要求，
故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，
此时.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧，
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.