重庆市杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份重庆市杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．6，11，5B．2，8，5C．3，4，6D．2，3，7
2．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（ ）
第4题图
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．如图，已知中，的角平分线交于点D，若，，则和的面积之比为（ ）
第5题图
A．B．C．D．无法确定
6．下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成的一些正八边形，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，……，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（ ）
A．49B．50C．55D．56
7．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，，，E是上一点，、分别平分、，若，，则等于（ ）
第8题图
A．12B．16C．18D．20
9．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，则的度数为（ ）
第9题图
A．45°B．135°C．25°或115°D．45°或105°
10．将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y对调操作”的结果为，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；
②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则或；
③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．不等式的解集是______．
12．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是______边形．
13．某校数学老师组织了“七年级学生数学知识”竞赛，赛后老师随机抽取了100份试卷的竞赛成绩（满分为100分，成绩都为整数），绘制成如图所示的统计图．由图可知，抽取学生成绩低于60分的有______人．
14．如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______cm．
第14题图
15．如图，中，，，，过点A作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等．
第15题图
16．已知关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的和为______．
17．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有______．（填序号）
第17题图
18．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数m是否是大吉数，可以用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且n为整数）是“大吉数”，则______．若p，q均为“大吉数”，且，（，，，且x、y、z均为整数），则的最大值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（1）解方程组：；
（2）求不等式组的解集并把解集表示在数轴上：．
20．我校为了让学生全面发展，丰富学生的课余生活，积极开展各类兴趣活动，我们初二年级计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组，为此，随机抽查了初二年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如统计图（不完整）．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）在本次抽样调查中，样本容量为______，在扇形统计图中，表示“劳动体验”的扇形的圆心角度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）初二年级共有2000名学生，根据抽查结果，试估计初二年级选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
答：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为500人
21．如图，在中，，D为上一点，E为外一点，，连接，连接交于F，且平分．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
（2）求证：．请根据下列证明思路完成填空：
证明：∵，∴．
∵平分，，，∴①______．
∵，∴．
在和中，，
∴（②______）．∴③______．
∵，，
∴④______．∴．
第21题图
22．重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念．小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元．
（1）求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？
（2）若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸．并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？
23．如图，中，，D、E是边、上的点，连接、交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
第23题图
24．如图，，，点在边上，，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
第24题图
25．如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、．
（1）点B的坐标为______；
（2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标；
（3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
第25题图
26．如图，在中，点D是上一点，点E是上一点，连接、，，点F是上一点，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，若，点G为上一点，连接，且，求证：；
（3）如图3，若，，，当取得最小值时，请直接写出的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意：
B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意：
C、，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：C．
2．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故错误：
C、不是轴对称图形，故正确；D、是轴对称图形，故错误，故选：C．
3．【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：D．
4．【解答】解：∵，，∴，故选：B．
5．答案：C
6．【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：根；
图案③需火柴棒：根；…
∴图案n需火柴棒：根；
当时，，
∴图案⑦需50根火柴棒；故选：B．
7．【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，由题意得：，故选：A．
8．【答案】B
【解答】解：如图，过点E作于点F，
∵，，∴，∴，∴，
∵、分别平分、，∴，，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴，故选：B．
9．【解答】D
解：当点在上方时，如图所示，
∵，∴，
由翻折可知，，∴．
∵，∴．
当点在下方时，如图所示，
∵，∴，
由翻折可知，，∴，
又∵，∴．
综上所述，的度数为：25°或115°．故选：C．
10．【解答】解：①“y、m对调操作”的结果为，与原式相等，故①错误；
②“x、y对调操作”的结果为，“n、y对调操作”的结果为，
若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则或，故②正确；
③若，
“x、y”对调操作的结果为；
“x、z”对调操作的结果为；
“x、m”对调操作的结果为；
“x、n”对调操作的结果为；
“y、z”对调操作的结果为；
“y、m”对调操作的结果为；
“y、n”对调操作的结果为；
“z、m”对调操作的结果为；
“z、n”对调操作的结果为；
“m、n”对调操作的结果为；
∴“对调操作”的结果有，，，，共5种，故③正确；故选：C．
二、填空题（共7小题）
11． 【解答】解：，移项得，，
合并同类项得，，系数化为1得，，故答案为：．
12．五 【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都是108°，
∴这个多边形的每一个外角都是，
∴这个多边形的边数是，∴这个多边形是五边形，故答案为：五．
13．5 【解答】解：（人），故答案为：5．
14．36cm 【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，∴；
∵的周长，
∴，∴的周长为，
故答案为：36．
15．8cm或16cm
【解答】解：∵，∴，
∵，，
∴当时，，
当时，，
综上所述，为或时，和全等、
故答案为：8cm或16cm．
16．25 【解答】解：解关于x的方程得：，
∵，∴，∴，
解关于y的不等式组得：，
∵不等式组的解集为，∴，∴，∴，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：25．
17．①③④ 【解答】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，∴，∴垂直平分，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，故①是正确的；
∵，∴，∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
设，则，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，故③是正确的；
∵，∴，
∵，∴，
∴，故④是正确的，
故选：C．
18．【解答】解：∵整数（其中，且n为整数）是“大吉数”，且，∴是13的倍数，∴，即；
∵p为“大吉数”，，（，，，且x、y、z均为整数），
∴，
∴为13的倍数，∴，∴；
∵q均为“大吉数”，，
∴当时，，
∴是13的倍数，
∴当时，，此时；
当时，；此时；
∴或，
∴；或，
∴的最大值为819；故答案为：91；819．
三、解答题（共8小题）
19．【解答】解：（1），
②得：③，①-③得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）
解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
20．【解答】解：（1）本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是；
故答案为：200，72°．
（2）“音乐舞蹈”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）（名）．
答：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为500人．
21．【解答】解：（1）作法：1．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点G、点H；
2．分别以点G、点H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点I；
3．作射线交于点M，射线就是所求的图形．
（2）证明：∵，∴，
∵平分，，，∴，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴，
故答案为：，，，．
22．【解答】解：（1）设购进A型号相纸每盒的单价是x元，购进B型号相纸每盒的单价是y元，根据题意，得，解得：，
答：购进A型号相纸每盒的单价是45元，购进B型号相纸每盒的单价是58元．
（2）设购进A型号的相纸m盒，则购进B型号相纸盒，根据题意，得
，解得：，
答：最多购进A型号的相纸30盒．
23．【解答】（1）证明：在和中，，
∴，∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，∴，
∴．
24．【解答】（1）证明：∵和相交于点O，∴．
在和中，，∴．
又∵，∴，∴．
在和中，，∴．
（2）∵，∴，．
在中，∵，，∴，∴．
25．【解答】解：（1）∵，，，
∴，，∴，
∴点B的坐标为，故答案为：．
（2）设于交于点H，如图1所示：
∵，，
∵，，
又∵，∴，
∵点P，Q关于对称，∴，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵点，点，∴，，
∴，∴，
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴，∴点D的坐标为；
（3）存在，
∵点M在y轴上，∴有以下两种情况讨论如：
①当点M在y轴的正半轴上时，
过点A作轴于点N，如图2所示：
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
在和中，，
∴，∴，，
∵，，，∴四边形为矩形，
又∵点，∴，，∴，
∴，∴点的坐标为．
②当点M在y轴的正半轴上时，
过点A作轴于点N，如图3所示：
同理可证：，，
∴，
∴点P的坐标为．
综上所述：点P的坐标为或．
26．【解答】解：（1）如图，
∵，，，∴，
在和中，，∴，
∴，∵，，
∴；
（2）如图，延长到P，使得，连接，
∵，，
又，∴，
在和中，，∴，
∴，，
∵，，∴，，
在和中，，
∴，∴，∴；
（3）如图，延长至点M，使，连接，则，
∵，，，
∴，∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴此时为等腰直角三角形，
∵D为的中点，∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
∴和均为等腰直角三角形，
∵，∴，∴．