云南省昆明市官渡区西南大学官渡实验学校2024-2025学年高三上学期期中综合素质测评数学试卷

这是一份云南省昆明市官渡区西南大学官渡实验学校2024-2025学年高三上学期期中综合素质测评数学试卷，文件包含高2022级期中综合素质测评-试卷docx、高2022级期中综合素质测评+参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
试卷满分：150分 测试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好条形码。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
4.考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负。
5.考试结束后,将答题卡交回；本试卷由考生自己收好。
第I卷 （客观性试题 58 分）
一、单选题（共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若向量，，且，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4. ( )
A．23 B． C．13 D．−13
5．圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两个根，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，部分选对得部分分.）
9．某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：根据表中的数据可得到经验回归方程为. ，则（ ）
A．y与x的样本相关系数
B．
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
11．如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A．的面积为B．
C．平面平面D．三棱锥的体积为
第Ⅱ卷 （主观性试题 92 分）
三、填空题（共3题，每小题5分，共15分）
12．已知展开式的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为 .
13．已知，则的值为 ．
14．清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.

四、解答题（共6题，共77分，每个题请写出必要的文字说明、演算或证明过程）
15．（13分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形.
(1)证明：
(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.
17．（15分）已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式，并求使成立的的取值范围；
(2)若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域．
18．（17分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解昆明市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中
19．（17分）已知函数是偶函数，是奇函数，且.
(1)求和的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围;
(3)设函数，若存在大于1的极小值点，求实数的取值范围.年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828