2024-2025学年广西钦州市浦北中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西钦州市浦北中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是( )
A. 0.32B. 0.56C. 0.44D. 0.68
2.下列试验是古典概型的是( )
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
3.已知i为虚数单位，z=(1−i)(3+i)，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围为( )
A. k⩾34或k⩽−4B. k⩾34或k⩽−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤4
5.过点P(−1,1)引直线，使A(2,3)，B(4,−5)，两点到直线的距离相等，则直线方程是( )
A. 2x+y+1=0B. x+2y−1=0
C. 2x+y+1=0或4x+y+3=0D. x+2y−1=0或4x+y+3=0
6.已知直线l1：x−(a−1)y−a−2=0与l2：ax−2y−2=0平行，则k的值是( )
A. 1B. 2C. 1或2D. −1或2
7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为( )
A. 14B. 38C. 34D. 1116
8.若圆C1：x2+(y−4)2=r2上存在点M，点M关于直线y=x−1的对称点M′在圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4上，则r的取值范围为( )
A. [ 5−2, 5+2]B. ( 5−2, 5+2)
C. [ 5−2,+∞)D. (−∞, 5+2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.2，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.8
B. 若B⊆A，则P(AB)=0.6
C. 若A与B相互独立，则P(A−B−)=0.32
D. 若P(A∪B)=0.92，则A与B相互独立
10.已知圆C1：x2+y2−8x+7=0和圆C2：x2+y2+6y+m=0外离，则整数m的一个取值可以是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
11.下列结论错误的是( )
A. 过点A(2,3)，B(−3,2)的直线的斜率为−15
B. 若直线2x−y+6=0与直线ax+y+2=0垂直，则a=12
C. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+3=0之间的距离是 52
D. 已知点A(2,−2)，B(−1,2)，点Q在直线l：x+y−4=0上运动，则|QA|+|QB|的最小值为7
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积取最小值时直线l的方程为______.(答案写成一般式)
13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(4,0)，若动点P满足|PA||PB|=12，设点P的轨迹为C，过点(1,2)作直线l，C上恰有三个点到直线l的距离为1，则满足条件的一条直线l的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
(2)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．
15.(本小题15分)
已知圆C的圆心为(3,1)，且该圆被直线l：x−y−1=0截得弦长为 2．
(1)求该圆的方程；
(2)求过点A(4,−3)的该圆的切线方程．
16.(本小题15分)
一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．
(1)现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率；
(2)现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率．
17.(本小题17分)
已知圆C：(x−2)2+(y−4)2=25和直线l：(2m+1)x+(m+1)y−11m−8=0．
(1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；
(3)已知点P(x,y)在圆C上，求x2+y2的最大值．
18.(本小题17分)
如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+(y−2)2=1，且圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M的上方)，直线l：y=kx(k>0)与圆C交于A，B两点．
(1)若AB=2 55，求实数k的值．
(2)设直线AM，直线BN的斜率分别为k1，k2，若存在常数a使得k1=ak2恒成立？若存在，求出a的值．若不存在请说明理由．
(3)若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.D
6.D
7.B
8.A
9.AC
10.CD
11.AC
12.x+2y−4=0
13.x=1或3x−4y+5=0(写出一条即可)
14.解：(1)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立，
由题意得：P(AB)=P(A)P(B)=0.05，
P(AC)=P(A)P(C)=0.1，
P(BC)=P(B)P(C)=0.125，
∴P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5;
(2)∵A、B、C相互独立，∴A、B、C相互独立，
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内都不需要照顾的概率为
P(A B C)=P(A)P(B)P(C)
=0.8×0.75×0.5=0.3，
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为P=1−P(A⋅B⋅C)=1−0.3=0.7．
15.解：(1)圆C的圆心(3,1)到直线l：x−y−1=0的距离为：
d=|3−1−1| 2= 22，
则弦长为2 r2−d2=2 r2−( 22)2= 2，解得r2=1，
所以圆的方程为：(x−3)2+(y−1)2=1；
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为：x=4，
则圆心到直线的距离为d=|4−3|=1=r，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y+3=k(x−4)，即kx−y−3−4k=0，
则圆心到直线的距离d=|3k−1−3−4k| 1+k2=1，解得k=−158，
所以直线的方程为：15x+8y−36=0，
综上：该圆的切线方程为：x=4或15x+8y−36=0．
16.解：(1)从袋子中无放回地取球两次，共有A52=20种可能，其中“都是白球”有A32=6种可能．
所以从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率为620=310．
(2)从袋子中有放回地取球两次，共有5×5=25种可能，
当取出2个白球或取出一红一黑时，得分之和为4，有3×3+2=11种可能，
所以取出两球后得分之和为4分的概率为1125．
17.解：(1)证明：∵直线l：(2m+1)x+(m+1)y−11m−8=0，
∴(2x+y−11)m+(x+y−8)=0，
令2x+y−11=0x+y−8=0，解得x=3y=5，
∴直线l过定点(3,5)，
而(3−2)2+(5−4)20)与圆C相交于A，B两点，且AB=2 55，
∴圆心到l的距离为d= 1−(12×2 55)2=2 5，即2 k2+1=2 5，解得：k=±2，
∵k>0，∴k=2．
(2)∵圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M上方)
∴M(0,1)，N(0,3)，∴AM：y=k1x+1，BN：y=k2x+3.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
直线AM与圆C方程联立：y=k1x+1x2+(y−2)2=1，化简得：(k12+1)x2−2k1x=0，
∴A(2k1k12+1,3k12+1k12+1)，同理可求：B(−2k2k22+1,k22+3k22+1)．
∵O，A，B三点共线，且OA=(2k1k12+1,3k12+1k12+1)，OB=(−2k2k22+1,k22+3k22+1)
∴2k1k12+1⋅k22+3k22+1−(−2k2k22+1)⋅3k12+1k12+1=0，化简得：(3k1+k2)(k1k2+1)=0，
∵k1k2+1≠0，∴3k1+k2=0，即k1=−13k2，
∴存在实数a=−13，使得k1=ak2恒成立．
(3)设P(x0,y0)，∴y0=k1x0+1y0=k2x0+3 且 k1≠k2，∴x0=2k1−k2y0=3k1−k2k1−k2，
由(2)知：k2=−3k1，代入得：y0=3k1−(−3k1)k1−(−3k1)=32为定值．
∴点P在定直线y=32上．