湖北省云学部分重点高中2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省云学部分重点高中2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A．B．C．D．
2．若则（）
A．B．C．D．
3．数列是公差不为零的等差数列，它的前n项和为，若且成等比数列，则( )
A．B．C．D．2
4．已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是( )
A．B．C．D．
5．对于平面凸四边形ABCD，若，则四边形ABCD的面积为( )
A．B．C．D．大小不确定
6．已知函数在区间单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交y轴于点B，若，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
8．已知函数有两个极值点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、多项选择题
9．已知事件A,B发生的概率分别为，则下列说法正确的是( )
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若，则A与B相互独立
D．若B发生时A一定发生，则
10．已知，且，则( )
A．B．
C．D．
11．设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有( )
A．B．
C．D．
三、填空题
12．若复数z满足，则______.
13．若是偶函数，则实数a的值为__________.
14．在如图所示的直角梯形ABCD中，为梯形ABCD内一动点，且，若，则的最大值为______.
四、解答题
15．已知数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前n项和为.求.
16．在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.设向量，，且.
(1)求角B的大小；
(2)设D是边AC上的一点，使得的面积是面积的2倍，且，求线段BD的长.
17．已知a,b为实数，函数（其中是自然对数的底数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求的最小值.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，平面PBC与平面PAD的交线为l.
(1)求证：平面PAC；
(2)设M为内一动点，且，求线段PM长度的最小值；
(3)在(2)的条件下，当线段PM的长最小时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.
19．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：
(1)若，且，求随机变量的信息熵；
(2)若，求随机变量X的信息熵；
(3)设X和Y是两个独立的随机变量，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知：，
，
所以.
故选：C
2．答案：D
解析：
，
故选：D
3．答案：B
解析：设等差数列的公差，
因为，即，
又因为成等比数列，则，
即，整理可得，
所以.
故选：B
4．答案：D
解析：因为，
即，
可得，
可知函数的最小正周期，
且，即，解得.
故选：D
5．答案：A
解析：因为，
则，
可得，
设直线AC,BD的夹角为，
则，
可得，
所以四边形ABCD的面积为.
故选：A
6．答案：A
解析：因为，
则，
由题意可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又因为，
则，
可得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
7．答案：B
解析：设，则，，
因为，
则，
即，整理可得，
则，
又因为，
即，
整理可得，
解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故选：B
8．答案：D
解析：由题意可知：的定义域为，且，
由题意可知：有两个不相等的正根，
显然，即有两个不相等的正根，
则，解得，
可得，
令，
则，
可知在内单调递减，则，
且当a趋近于0时，趋近于，
即的值域为，所以的取值范围是.
故选：D
9．答案：BC
解析：对于选项A，因为A与B互斥，则，
所以选项A错误，
对于选项B，A与B相互独立，则，所以选项B正确，
对于选项C，因为，
所以，由相互独立的定义知A与B相互独立，所以选项C正确，
对于选项D，因为B发生时A一定发生，
所以，则，
所以选项D错误，
故选：BC
10．答案：ABD
解析：对于A：因为，且，
若，则，则，不合题意，所以；
若，则，则，不合题意，所以；
综上所述：，故A正确；
对于C：因为，则，可得，
即，可得，故C错误；
对于B：由选项AC可知：，且，得，
即，且，
所以，故B正确；
对于D：因为，
可得，
又因为，
可得，
所以，故D正确；
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：因为是锐角三角形的两个内角，且，
可得：，且，，
对于选项A：因为，且，
则，
可得，
因为，则，
可得，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，
且，即，
则，即，故B错误；
对于选项C：因为，则，
则，
由选项A可知：，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，
又因为，则，
可得，即，
所以，故D正确；
故选：ACD
12．答案：
解析：由已知条件可知，
可得到，
化简整理可得，
，
所以，
所以.
故答案为：
13．答案：
解析：函数是偶函数，则，，
化简可得.当时，则
所以，则，
所以函数是偶函数，则.故答案为：
14．答案：
解析：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
且，可知点P在标准单位圆上，
可设，
可得，
若，
可得，
解得，
则，
其中，
当且仅当，
即，时，，
此时为第四象限角，符合题意，
取到最大值
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
可得
令，
可得，
即，
由
可得，
且，
可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，
可得，即，
则，
且符合上式，
所以.
(2)由(1)可得：，
则，
可知是以首项，公差为1的等差数列，可得，
当时，则，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵，
∴.
由正弦定理，得.
在三角形ABC中，，
所以，
∴，
所以.
(2)∵
∴.
∵，
∴.
两边同时除以ac，又，
∴.
又，
∴.
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)易知，
因为，
所以，
当时，恒成立，
此时在R上单调递增，
当时，由，得到，
当时，，
当时，，
即在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
综上，时，在R上单调递增，时，
的减区间为，增区间为.
(2)因为当时，时，，
由(1)知，要使对任意的恒成立，则，
且恒成立，
即恒成立，
得到，
所以，
令，则，
由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故的最小值为.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)
解析：(1)因为，
所以，
而平面PAD，平面PAD，得平面PAD，
由平面PBC，平面平面，得，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，而，平面PAC，
得平面PAC，由，得平面PAC．
(2)如图所示：
取CD的中点N，连接MN，则
，
而，
得，
得，
而，
由，
得，
由，当P,M,N三点共线时，等号成立，此时取得最小值，
则线段PM长度的最小值为：．
(3)当线段PM的长最小时，，
以A为坐标原点，分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示：
，
，
，，
设平面PBC的一个法向量为，
由，得到，
取，得到，即，
设AM与平面PBC所成角为，
则．
19．答案：(1)1
(2)
(3)答案见解析
解析：(1)若，则随机变量X的取值为1或2，
又，故，
，
所以随机变量X的信息熵为1
(2)由题意，当时，，
，
而，
，
令，
则，
两式相减得
，
所以，
则.
(3)由题意，，
，
而且，，
所以
.